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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert
Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Sa 21.05.2005
Autor: ThomasK

Hi

Gibt es eine möglichkeit den Grenzwert dieser funktion

[mm] \bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1} [/mm] für x [mm] \mapsto [/mm] 1 und [mm] n,m\in \IZ\setminus \{0\} [/mm]

ohne LHospitalscheRegel zu ermitteln?

Hab schon mehrmals rum probiert, komme aber nicht auf das ergebniss  [mm] \bruch{m}{n}. [/mm]

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Sa 21.05.2005
Autor: Max

Hallo ThomasK,


da ja sowohl der Zähler wie auch der nenner für $x=1$ Null werden, kannst du natürlich aus beiden den Faktor $(x-1)$ ausklammern, es gilt:

[mm] $\lim_{x\to 1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots + x^2+x^1+1}{x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots + x^2+x^1+1}=\frac{1+1+\cdots+1+1+1}{1+1+\cdots+1+1}=\frac{m}{n}$ [/mm]

da im Zähler genau $m$ Summanden $1$ werden und im Nenner genau $n$ Summanden $1$ werden.

Gruß Max


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Sa 21.05.2005
Autor: ThomasK

Hi Max.

Danke für deine Antwort.

Ich hab da aber noch eine frage.

wie kommt man von  [mm] x^{m} [/mm] - 1 auf [mm] x^{m-1} [/mm] +...+x+1, wenn ich aus(x-1)

ausklammern soll?

Danke schonmal im vorraus.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Thomas!


Führe doch einfach mal eine MBPolynomdivision durch:

[mm] $\left(x^m - 1\right) [/mm] \ : \ (x-1) \ = \ ...$


Dann solltest Du exakt auf Max' Ergebnis kommen ...

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Sa 21.05.2005
Autor: ThomasK

Hi Loddar

Da hast du recht.

Danke.

Bezug
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