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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert a [mm] \in \IR [/mm] der Folge [mm] (a_n)_(n \in \IN) [/mm] und begründen Sie Ihre Wahl mit einer geeigneten Rechnung.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}sin(n) [/mm] |
Hallo 
Ich habe leider keine Ahnung, wie man so eine Aufgabe löst. Ich hatte nur Mathe Grundkurs und da haben wir so etwas gar nicht gemacht und jetzt soll ich das auf einmal können... Deshalb kann ich leider auch keinen richtigen Lösungsansatz posten. Als Hinweis steht bei der Aufgabe, dass man sin(n) nach oben und unten abschätzen soll. Somit habe ich geschrieben:
[mm] -\bruch{1}{n} \le a_n \le \bruch{1}{n}.
[/mm]
Ich weiß dass [mm] -\bruch{1}{n} \mapsto -\infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} \mapsto \infty [/mm] für n [mm] \mapsto \infty.
[/mm]
Aber was ist jetzt der Grenzwert der Folge und wie berechnet man das??
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Oh ja, ich sehe es.
Sowohl [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] als auch [mm] \bruch{1}{n} \mapsto [/mm] 0, wenn n [mm] \mapsto \infty [/mm] !
Also würde ich logisch mal schließen, dass der Grenzwert der gesamten Funktion auch 0 ist (??).
Wärst du so lieb, mir das einmal komplett "mathematisch" aufzuschreiben? Mit diesem ... [mm] \le a_n \le [/mm] ... und so und wie man dann folgert, dass der Grenzwert auch 0 ist. Ich weiß gar nicht, wie man das aufschreibt. :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 12.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Oh ja, ich sehe es.
> Sowohl [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] als auch [mm]\bruch{1}{n} \mapsto[/mm] 0, wenn
> n [mm]\mapsto \infty[/mm] !
> Also würde ich logisch mal schließen, dass der Grenzwert
> der gesamten Funktion auch 0 ist (??).
> Wärst du so lieb, mir das einmal komplett "mathematisch"
> aufzuschreiben? Mit diesem ... [mm]\le a_n \le[/mm] ... und so und
> wie man dann folgert, dass der Grenzwert auch 0 ist. Ich
> weiß gar nicht, wie man das aufschreibt. :-(
Hallo,
du weißt, dass sin n zwischen -1 und 1 liegt. Das kannst du sicher selbst als Doppelungleichung schreiben.
Daraus folgt, dass "irgendwas" mal sin n zwischen -irgendwas und +irgendwas liegt.
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So weit hatte ich es doch auch schon hingeschrieben. Aber es fehlt trotzdem, wie davon auf den Grenzwert gefolgert wird.
Vielleicht so:
-1 [mm] \le [/mm] sin(n) [mm] \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{n}sin(n) \le \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \pm \bruch{1}{n} \mapsto [/mm] 0 für n [mm] \mapsto \infty
[/mm]
...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) [/mm] = 0
Aber bei ... fehlt doch noch ein Schritt zur Begründung, oder? Ich weiß nicht, was ich da hinschreiben muss.
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Hiho,
> Vielleicht so:
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> -1 [mm]\le[/mm] sin(n) [mm]\le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{n}sin(n) \le \bruch{1}{n}[/mm]
>
Bis hierhin: Prima.
Und jetzt einfach nur als Folgerung:
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} -\bruch{1}{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}sin(n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
Und nun die beiden Grenzwerte die du kennst ausrechnen, dann steht da was?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Princess17 |
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -\bruch{1}{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) \le [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) [/mm] = 0
Vielen Dank
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Das solltest Du nochmals stark überdenken!
