Grenzwert? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll untersuchen ob die Folge [mm] an=\wurzel{n}(\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n}) [/mm] einen Grenzwert besitzt und wenn ja soll ich diesen berechnen
Nun hab ich durch langes Ausprobieren herausgefunden das sich die Folge den Wert 1,060660.. annähert oder in anderer Form [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] (wolfram alpha) ist.
Doch wie seh ich es einfacher ohne langes herumprobieren das die Folge den Grenzwert von [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] hat??
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Die meisten dieser Grenzwertaufgaben mit Wurzelsubtraktionen laufen auf denselben Trick hinaus:
[mm]\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}[/mm]
Mittels dritter binomischer Formel verschwinden die Wurzeln im Zähler, und in den Nenner kommt etwas, was gegen unendlich strebt. Versuche es selbst einmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich das mit dem inneren Ausruck [mm] (\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n}) [/mm] mache komme ich auf [mm] \bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}}
[/mm]
jetzt hab ich den Audruck mal [mm] \wurzel{n}
[/mm]
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Hiho,
> Wenn ich das mit dem inneren Ausruck
> [mm](\wurzel{2n+3}-\wurzel{2n})[/mm] mache komme ich auf
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt hab ich den Audruck mal [mm]\wurzel{n}[/mm]
Jap.
Im Nenner [mm] \sqrt{n} [/mm] ausklammern und kürzen. Für die Summanden im Nenner dann ausnutzen, dass [mm] \bruch{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} [/mm] = [mm] \sqrt{\bruch{a}{b}}$ [/mm] und dann [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
mhmm ich komme irgendwie nicht dahin wo ich möchte.
[mm] \wurzel{n}*\bruch{3}{\wurzel{n}(\wurzel{2+3}+\wurzel{2})}
[/mm]
[mm] \wurzel{n} [/mm] kürz ich dann aber dann hab ich [mm] stehen\bruch{3}{\wurzel{5}+\wurzel{2}}
[/mm]
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Huhu,
> mhmm ich komme irgendwie nicht dahin wo ich möchte.
>
> [mm]\wurzel{n}*\bruch{3}{\wurzel{n}(\wurzel{2+3}+\wurzel{2})}[/mm]
> [mm]\wurzel{n}[/mm] kürz ich dann aber dann hab ich
> [mm]stehen\bruch{3}{\wurzel{5}+\wurzel{2}}[/mm]
Wie kommst du auf [mm] \sqrt{5} [/mm] ? Ich komm da auf [mm] \sqrt{2}
[/mm]
Schaus dir nochmal an und nicht aus Summen kürzen!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Okay
[mm] \bruch{3}{\wurzel{2}+3+\wurzel{2}}
[/mm]
also kann ich das schreiben als [mm] \bruch{3}{3}*\bruch{3}{\wurzel{2}+\wurzel{2}}?
[/mm]
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Huhu,
> Okay
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{2}+3+\wurzel{2}}[/mm]
Nein!
Nicht raten, rechnen!
Es gilt doch: [mm] \bruch{\sqrt{2n + 3}}{\sqrt{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{2 + \bruch{3}{n}} \to \sqrt{2}, n\to\infty$
[/mm]
Und nun nochmal.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
jetzt versteh ich es nicht mehr
ich sollte aus dem [mm] \bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}} [/mm]
[mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern und dann kürzen
Nach dem kürzen sollte dann etwa sowas dastehen [mm] \bruch{3}{{\wurzel{2+3}+\wurzel{2}}}
[/mm]
was mit den 3er passiert weiß ich nicht
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Hallo racy90,
> jetzt versteh ich es nicht mehr
>
> ich sollte aus dem [mm]\bruch{3}{\wurzel{2n+3}+\wurzel{2n}}[/mm]
>
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> [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern und dann kürzen
Zuvor musst den Ausdruck noch mit [mm]\wurzel{n}[/mm] multiplizieren.
Dann kannst Du kürzen.
>
> Nach dem kürzen sollte dann etwa sowas dastehen
> [mm]\bruch{3}{{\wurzel{2+3}+\wurzel{2}}}[/mm]
Es soll dann da stehen:
[mm]\bruch{3}{{\wurzel{2+\red{\bruch{3}{n}}}+\wurzel{2}}}[/mm]
Lasse jetzt [mm]n \to \infty[/mm] streben.
> was mit den 3er passiert weiß ich nicht
>
Die 3 bleibt stehen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
d.h wenn n extrem groß wird kann man es im ausdruck vernachlässigen und es steht dann dort [mm] \bruch{3}{2\wurzel{2}} [/mm] ??
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Huhu,
> d.h wenn n extrem groß wird kann man es im ausdruck
> vernachlässigen und es steht dann dort
> [mm]\bruch{3}{2\wurzel{2}}[/mm] ??
Ja und nein!
Du berechnest doch einen Grenzwert und es gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{3}{n} [/mm] = 0$, d.h. es ist nicht "extrem groß" und es wird nichts "vernachlässigt".
Aber ja, als Grenzwert steht dann dort [mm] $\bruch{3}{2\wurzel{2}}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 20.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Okay danke
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