Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 02.05.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Berechne den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n*sin(1/x)} [/mm] |
Hallo,
bei der oben stehenden Aufgabe habe ich keinen richtigen ansatz, denn für mich wäre der Grenzwert hier 1. Der Bruch [mm] \bruch{3}{\infty} [/mm] wäre bei mir = 0 und [mm] 1^{\infty}=1. [/mm] n*sin(1/n) = 0 ist für mich = 0 und die Wurzel aus 1 ist 1. Aber das ist bestimmt nicht richtig oder und wie schreibe ich sowas am besten auf.
Mfg
Ch.Ruff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo RWBK!
Der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n[/mm] sollte bekannt sein mit dem Grenzwert [mm]\exp(a) \ = \ e^a[/mm] .
Den anderen Term kannst Du wie folgt behandeln:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*\sin\left(\bruch{1}{n}\right) \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{1}{n}\right)}{\bruch{1}{n}}[/mm]
Wenn Du nun ersetzt [mm]k \ := \ \bruch{1}{n}[/mm] , ergibt sich daraus folgender (hoffentlich bekannter) Grenzwert:
[mm]... \ = \ \limes_{k\rightarrow \ \red{0}}\bruch{\sin(k)}{k} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo Loddar,
danke erst einmal für deine schnelle antwort. Aber eins versteh ich immer noch nicht wie kommst du jetzt im zweiten teil der aufgabe auf [mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] wo hast du denn jetzt die null her? Der Grenzwert davon ist 1 das weiß ich, auch wenn ich auf das von dir gezeigt niemals gekommen wäre.
mfg
RWBK
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> Hallo Loddar,
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> danke erst einmal für deine schnelle antwort. Aber eins
> versteh ich immer noch nicht wie kommst du jetzt im zweiten
> teil der aufgabe auf [mm]\limes_{n\rightarrow0}[/mm] wo hast du denn
> jetzt die null her? Der Grenzwert davon ist 1 das weiß
> ich, auch wenn ich auf das von dir gezeigt niemals gekommen
> wäre.
es war ja erst $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n\cdot{}\sin\left(\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{1}{n}\right)}{\bruch{1}{n}} [/mm] $
nun wird [mm] \frac{1}{n} [/mm] substituiert mit k
da n vorher gegen [mm] \infty [/mm] ging, läuft [mm] k=\frac{1}{n} [/mm] nun folglich gegen 0, und nicht mehr gegen [mm] \infty
[/mm]
>
> mfg
> RWBK
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 03.05.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n\cdot{}sin(1/x)}
[/mm]
ist mein Grenzwert dann bei dieser Aufgabe [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} =\wurzel{e^{3}+1} [/mm] ??
Mfg
RWBK
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Hallo RWBK,
> Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(1+\bruch{3}{n})^{n}+n\cdot{}sin(1/x)}[/mm]
>
> ist mein Grenzwert dann bei dieser Aufgabe
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} =\wurzel{e^{3}+1}[/mm] ??
Wenn die Aufgabe wirklich so lautet (im Ausgangspost steht's auch so), dann ist es falsch, das Ding wäre divergent.
Denn [mm]\sin(1/x)[/mm] ist beschränkt und [mm]n\to\infty[/mm]
Es hängt ja $x$ gar nicht von $n$ ab.
Wenn aber gemeint ist: [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\left(1+3/n\right)^n+n\cdot{}\sin(1/\red{n})}[/mm], so hast du recht!
>
> Mfg
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Di 03.05.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke das x war leider ein Tippfehler. Sorry
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:50 Di 10.05.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
hab nochmal eine allgemeine Frage zum Thema Grenzwerte. Was ich nicht wirklich verstehe ist, wann ich mit der Substitution arbeiten muss bzw diese verwenden.Was ändert sich denn da durch ?? Gilt immer wenn ich substituiere das aus z.B [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=...(beliebige [/mm] Funktion) mit u = ...
[mm] \limes_{u\rightarrow0} [/mm] ... ??
mfg
RWBK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 12.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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