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Forum "Funktionen" - Grenzwert
Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Di 18.12.2012
Autor: charlene80

Aufgabe
Bestimmen sie den Grenzwert für

[mm] $\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$ [/mm]

Wie genau gehe ich bei solchen gebrochenrationalen Funktionen vor? Es wäre nett wenn mir jemand Lösungsansätze geben könnte :)

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Di 18.12.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du bekommst den unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] mache L'Hospital, Steffi

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Di 18.12.2012
Autor: schachuzipus

Hallo charlene80,

de l'Hôpital ist gar nicht notwendig.

Faktorisiere Zähler und Nenner:

[mm]\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}[/mm]

Nun kannst du [mm]x-1[/mm] kürzen und gefahrlos [mm]x\to 1[/mm] laufen lassen ...


Gruß

schachuzipus


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Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Di 18.12.2012
Autor: charlene80

Ok danke :) man brauch nur den richtigen blick :)
dann läuft das also gegen 2/3.

Aber was mache ich zb bei einer Funktion mit dem natürlichen logarithmus?
[mm] $\limes_{x\rightarrow 3} ln(\vert x^2-5x+6 \vert)-ln(\vert [/mm] x - 3 [mm] \vert)$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Logarithmusgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 18.12.2012
Autor: Loddar

Hallo Charlene!


Fasse beide Terme gemäß MBLogarithmusgesetz zu einem [mm] $\ln(...)$ [/mm] zusammen und gehe dann analog wie oben vor.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Di 18.12.2012
Autor: charlene80

Also kommt dann einfach $ln(1)$ raus? genauer muss man das nicht angeben oder?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Wert "ausrechnen"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Di 18.12.2012
Autor: Loddar

Hallo Charlene!



> Also kommt dann einfach [mm]ln(1)[/mm] raus?

[ok]


> genauer muss man das nicht angeben oder?

Naja, das sollte man schon "ausrechnen". Was ergibt denn [mm] $\ln(1)$ [/mm] ?


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 18.12.2012
Autor: charlene80

0 kommt raus?

ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher bin:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})$ [/mm]

Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und dann die wurzel so belassen?
Dann würde ich auf [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] kommen

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Di 18.12.2012
Autor: scherzkrapferl


> 0 kommt raus?
>  

richtig

> ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> bin:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>  
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?
>  Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen

richtig




Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 18.12.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> 0 kommt raus?
>
> ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> bin:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?

Man kann nicht nur, man muss es sogar so machen. In [mm] \IR [/mm] gilt ja zwar

[mm]\wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}[/mm]

aber das kannst du hier nicht verwenden (weshalb nicht?).

> Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen

Ja, das ist richtig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 18.12.2012
Autor: charlene80


> Hallo,
>  
> > 0 kommt raus?
>  >

> > ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> > bin:
>  > [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]

>  
> >
> > Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> > dann die wurzel so belassen?
>  
> Man kann nicht nur, man muss es sogar so machen. In [mm]\IR[/mm]
> gilt ja zwar
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}[/mm]
>  
> aber das kannst du hier nicht verwenden (weshalb nicht?).
>  

Naja weil die beiden Terme a und b negativ sind.

> > Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen
>
> Ja, das ist richtig.
>  
>
> Gruß, Diophant  


Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Di 18.12.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Naja weil die beiden Terme a und b negativ sind.

aber nur, wenn man von links kommt. Wenn nur der rechtsseitige Grenzwert gefordert wäre, dann könnte man das mit den beiden Wurzeln und mit l'Hospital machen.

So wie es jetzt gelöst ist, sollte man sich immerhin darüber im Klaren sein, dass man hier die Stetigkeit des Terms in x=2 verwendet (und damit ist halt immer die Frage verbunden, ob das schon verwendet werden darf).


Gruß, Diophant



Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Neue Aufgabe: Neuer Thread!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Di 18.12.2012
Autor: Diophant

Hallo chralene80,

bitte starte in Zukunft für jede neue Frage einen neuen Thread, der Ordnung halber.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Di 18.12.2012
Autor: tobit09

Hallo charlene80,


>  [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>  
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?

Ja, das entscheidende Stichwort lautet hier: Stetigkeit der Wurzelfunktion.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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