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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 So 10.03.2013 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] \bruch{p_{02}}{p_{01}}=[1+\bruch{2k}{k+1}{M_1}^{2}-1]^{-\bruch{1}{k-1}}[1-\bruch{2}{k+1}(1-\bruch{1}{{M_1}^{2}})]^{-\bruch{k}{k-1}}. [/mm] Gesucht ist der Grenzwert für ein konstantes k bei einem [mm] M_1 [/mm] = [mm] \infty [/mm] (die Brüche hinter den eckigen Klammern sind Exponenten). |
Hallo,
angeblich soll die Lösung sein, dass es gegen 0 strebt, aber ich komm nicht darauf. Hab schon sämtliche Terme durch [mm] M_1 [/mm] geteilt, damit es klarer wird, aber bin nicht drauf gekommen. Kann mir jemand helfen?
Gruß David
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Hiho,
vorweg: Du hast vermutlich eine Klammer vergessen und es soll vermutlich k>1 gelten. Sowas bitte in Zukunft immer mit angeben.
Dann zur Ausdrucksweise:
> Gesucht ist der Grenzwert für ein konstantes k bei einem [mm] $M_1 [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Gemeinst ist vermutlich, dass der Grenzwert gesucht ist für konstantes k für [mm] $M_1 \to \infty$.
[/mm]
Nehmen wir deinen Ausdruck:
[mm] [1+\bruch{2k}{k+1}{M_1}^{2}-1]^{-\bruch{1}{k-1}}[1-\bruch{2}{k+1}(1-\bruch{1}{{M_1}^{2}})]^{-\bruch{k}{k-1}}
[/mm]
Es soll dann wohl heißen:
[mm] $[1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)]^{-\bruch{1}{k-1}}[1-\bruch{2}{k+1}(1-\bruch{1}{{M_1}^{2}})]^{-\bruch{k}{k-1}}$
[/mm]
Sonst würden sich die Einsen im ersten Teil ja wegkürzen.
Aber letztlich ist es für das Ergebnis total egal.
Du hast nun also ein Produkt zweier Faktoren. Betrachten wir uns diese mal einzeln, zuerst den hinteren:
[mm] $\left[1-\bruch{2}{k+1}(1-\bruch{1}{{M_1}^{2}})\right]^{-\bruch{k}{k-1}}$
[/mm]
Da alle Ausdrücke stetig sind und einzig [mm] \bruch{1}{{M_1}^{2}} [/mm] von [mm] M_1 [/mm] abhängt, das aber gegen Null geht für [mm] $M_1 \to \infty$, [/mm] geht der Gesamtausdruck also gegen:
[mm] $\left[1-\bruch{2}{k+1}\right]^{-\bruch{k}{k-1}}$
[/mm]
Weiter umformen ist da nicht notwendig, wichtig ist nur: Es ist irgendwas konstantes, nennen wir das c.
Nehmen wir nun den vorderen Ausdruck und formen ihn um:
[mm] $\left[1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)\right]^{-\bruch{1}{k-1}}$
[/mm]
Da wir im Exponenten ein Minus haben, ist das gleich:
[mm] $\bruch{1}{\left[1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)\right]^{\bruch{1}{k-1}}} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)} \right)^{\bruch{1}{k-1}}$
[/mm]
Da nun (vermutlich) $k>1$ ist [mm] $\bruch{2k}{k+1}>0$ [/mm] und damit geht [mm] $1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)$ [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] $M_1\to\infty$ [/mm] und damit
[mm] $\left(\bruch{1}{1+\bruch{2k}{k+1}\left({M_1}^{2}-1\right)} \right) \to [/mm] 0$
und damit der erste Faktor.
Insgesamt geht der Gesamtausdruck also gegen $0*c = 0$
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 So 10.03.2013 | | Autor: | David90 |
Danke dir:) Wirklich sehr gut erklärt:)
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