Grenzwert - rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Der Grenzwert der rekursiv definierten Folge mit [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2-\bruch{1}{a_n^2+1}} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] = 1 lautet:
Die Antwort ist [mm] \wurzel{\wurzel{5} + 1 / 2}
[/mm]
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Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben wie ich das lösen kann?? ich weiss zwar wie man Folgen berechnet aber hier bin ich definitiv überfordert
Lieben Gruß
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Hallo CaptainCaracho!
Du musst erst die Konvergenz dieser Folge nachweisen, indem Du zeigst, dass die Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist. Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Der Nachweis von Monotonie und Beschränktheit kann z.B. jeweils mittels vollständiger Induktion erfolgen.
Für die Grenzwertberechnung $a_$ wird dann folgender Ansatz gewählt:
$$a \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$$
[/mm]
Dies wird nun in die Rekursionsvorschrift eingesetzt:
$$a \ = \ [mm] \wurzel{2-\bruch{1}{a^2+1}}$$
[/mm]
Nun nach $a \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
ich denke wir können davon ausgehen dass die reihe konvergiert. zumindest in der klausur. ich hab genau da probleme.. wie löse ich nach a auf??
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Hallo CaptainCaracho!
Quadriere die Gleichung und multipliziere anschließend mit [mm] $\left(a^2+1\right)$ [/mm] .
Damit erhältst Du eine biquadratische Gleichung, die Du mit der Substitution $x \ := \ [mm] a^2$ [/mm] auf eine "normale" quadratische Gleichung reduzieren kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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