Grenzwert (2^n+2n+2)^{1/n} < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2^n+2n+2)^{\bruch{1}{n}} [/mm] |
Ich hab hier mal ne abschätzung versucht: erstmal ziehe ich [mm] 2^n [/mm] raus und habe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2^n+2n+2)^{\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}2*(1+\bruch{n}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n-1}})^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
dann schätze ich ab:
[mm] 1^n \le 1+\bruch{n}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n-1}} \le [/mm] 5n
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1^n)^{\bruch{1}{n}} \le (1+\bruch{n}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n-1}})^{\bruch{1}{n}} \le (5n)^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] 1\le (1+\bruch{n}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n-1}})^{\bruch{1}{n}} \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(2^n+2n+2)^{\bruch{1}{n}}= [/mm] 2
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Huhu,
sieht gut aus.
Du kannst deine Abschätzung
$ [mm] (1^n)^{\bruch{1}{n}} \le (1+\bruch{n}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n-1}})^{\bruch{1}{n}} \le (5n)^{\bruch{1}{n}} [/mm] $
sogar noch stärker abschätzen, indem du das n auf der rechten Seite weglässt.
Musst du aber nicht 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mi 08.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
yeah. dankeschön
dann hab ichs für heute geschafft
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
richtig, wenn ihr schon [mm] n^{1/n} [/mm] konvergiert gegen 1 hattet, sonst musst du für n>4 [mm] n/2^{n-1}<1 [/mm] abschätzen und damit die Klammer mit 3
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht etwas einfacher: Sei [mm] (a_n) [/mm] Deine Folge.
Dann:
$ 2= [mm] \wurzel[n]{2^n} \le a_n \le \wurzel[n]{3*2^n}= 2*\wurzel[n]{3}$
[/mm]
FRED
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