Grenzwert 7 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
| Aufgabe | Ist der Grenzwert von nachstehendem
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+sin(x))^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
gleich 1? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo André,
> Ist der Grenzwert von nachstehendem
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+sin(x))^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> gleich 1?
Nein, dieser GW existiert wohl nicht, kann es sein, dass du eher den GW für [mm] $x\to\red{0}$ [/mm] suchst und nicht den für [mm] $x\to\infty$?
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Ja, sorry suche ich.
Aber wieso existiert er nicht für [mm] {x\rightarrow\infty}?
[/mm]
[mm] 1^0 [/mm] ist doch 1
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Hallo nochmal,
> Ja, sorry suche ich.
Dachte ich mir 
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> Aber wieso existiert er nicht für [mm]{x\rightarrow\infty}?[/mm]
>
> [mm]1^0[/mm] ist doch 1
Das liegt am Sinus im Klammerausdruck, der hat für [mm] x\to\infty [/mm] keinen GW, in der Klammer steht immer irgendwas zwischen 0 und 2 ...
Um den GW für [mm] x\to [/mm] 0 zu berechnen, schreibe [mm] $(1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}$ [/mm] um in [mm] $e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(1+\sin(x))}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion gilt [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten [mm] $\frac{1}{x}\cdot{}\ln(1+\sin(x))=\frac{\ln(1+\sin(x))}{x}$ [/mm] heraus und untersuche, was der für [mm] $x\to [/mm] 0$ treibt (de l'Hôpital ist hier eine gute Option)
Anschließend [mm] $e^{\text{diesen GW}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Was forme ich denn alles zu einer e-Funktion um? Ich mein, welche Ausrücke? Woranb erkenne ich es? An allen trigonometrischen Funktionen, welche in einer Klammer stehen?
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Hallo nochmal,
> Was forme ich denn alles zu einer e-Funktion um? Ich mein,
> welche Ausrücke? Woranb erkenne ich es? An allen
> trigonometrischen Funktionen, welche in einer Klammer
> stehen?
Das ist meist ein probates Mittel, wenn du Ausdrücke der Form [mm] $\text{irgendwas}^x$ [/mm] hast.
Bedenke, dass du für $a>0$ schreiben kannst [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Diese Umschreibung empfiehlt sich zB. zur Bestimmung von Ableitungen, etwa von [mm] $f(x)=x^x$ [/mm] oder für die Ableitung deines Beispiels [mm] $g(x)=(1+\sin(x))^x$
[/mm]
Oder für Grenzwertberechnungen wie hier ...
Also immer, wenn x im Exponenten steht, habe diese Umschreibung im Hinterkopf, sie ist oftmals nützlich
LG
schachuzipus
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