Grenzwert = 4? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 14.02.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie a und b so, dass [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cosx-b*e^{(ax)}}{x}=4
[/mm]
gilt. |
Hey.. finde bei dieser Aufgabe garkeinen Ansatz.
Meine einzige Idee war es, b und a so zu bestimmen, damit der Zähler 0 wird und ich somit 0/0 und damit l'Hopital anwenden kann. Das ist der Fall, wenn b=1 und a beliebig ist.
Aber dann habe ich [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cosx-1)}{x}, [/mm] mit l'hopital dann [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] -sinx=0
Das hilft also nicht. Aber sonst weiß ich nicht, wie ich da dran gehen kann, splitten kann ich den Bruch nicht, da ich cos(x)/x für x -> 0 nicht bestimmen kann.
Oder ich schreibe den exp Teil mit ln um, aber da war ich auch schnell am Ende.
Hat jemand nen Tip für mich? :)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 14.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie a und b so, dass [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cosx-b*e^{(ax)}}{x}=4[/mm]
>
> gilt.
> Hey.. finde bei dieser Aufgabe garkeinen Ansatz.
Hallo,
wie wäre es mit einer Potenzreihe und dann mit einem Koeffizientenvergleich?
Ach so, korrigiere mal die Aufgabe. Wirklich "n gegen 0"?
Gruß Abakus
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> Meine einzige Idee war es, b und a so zu bestimmen, damit
> der Zähler 0 wird und ich somit 0/0 und damit l'Hopital
> anwenden kann. Das ist der Fall, wenn b=1 und a beliebig
> ist.
>
> Aber dann habe ich [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cosx-1)}{x},[/mm]
> mit l'hopital dann [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] -sinx=0
Und wo bleibt der exponentielle Anteil?
>
> Das hilft also nicht. Aber sonst weiß ich nicht, wie ich
> da dran gehen kann, splitten kann ich den Bruch nicht, da
> ich cos(x)/x für x -> 0 nicht bestimmen kann.
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> Oder ich schreibe den exp Teil mit ln um, aber da war ich
> auch schnell am Ende.
>
> Hat jemand nen Tip für mich? :)
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 14.02.2010 | | Autor: | kappen |
Hey :) danke.
Mit Potenzreihen haben wir gerade erst angefangen, aber ich probiers mal:
die Reihen für cos und e sind bekannt. Stell ich die jetzt einzeln auf, oder kann ich daraus auch eine Differenz der Reihen bilden? Ich kenn für Multiplikationen das Cauchy Produkt, aber bei Differenzen weiß ich jetzt grad nichts?!
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}-b*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(ax)^n}{n!}}{x}
[/mm]
Wie gehe ich dnn hier mit nem Koeffizientenvergleich dran (den haben wir auch nicht wirklich gemacht (vor allem nicht in Verbindung mit Reihen), aber ich lasse mir gerne was neues zeigen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 14.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hey :) danke.
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> Mit Potenzreihen haben wir gerade erst angefangen, aber ich
> probiers mal:
>
> die Reihen für cos und e sind bekannt. Stell ich die jetzt
> einzeln auf, oder kann ich daraus auch eine Differenz der
> Reihen bilden? Ich kenn für Multiplikationen das Cauchy
> Produkt, aber bei Differenzen weiß ich jetzt grad
> nichts?!
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}-b*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(ax)^n}{n!}}{x}[/mm]
>
> Wie gehe ich dnn hier mit nem Koeffizientenvergleich dran
> (den haben wir auch nicht wirklich gemacht (vor allem nicht
> in Verbindung mit Reihen), aber ich lasse mir gerne was
> neues zeigen :)
Hallo,
Wenn der Grenzwert 4 sein soll, dann muss diese Reihenentwicklung an der Stelle 0 ja auch den Wert 4 haben.
Du erhältst hier [mm] \bruch{1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}...-(b+bax+0,5ba^2x^2+...)}{x}
[/mm]
Dabei können wir den Zähler nach dem Grad der Potenzen von x sortieren und zusamenfassen:
...= [mm] \bruch{(1-b) -bax -(0,5+0,5ba^2)x^2...\pm...)}{x}
[/mm]
Da die Zählerausdrücke alle durch x geteilt werden müssen erhält man
[mm] \bruch{1-b}{x} [/mm] (was für x gegen Null dummerweise gegen unendlich geht, es sei denn, dieser Term verschwindet....)
dann noch [mm] \bruch{-bax}{x}=-ba [/mm] (was eine Zahl ist und am besten 4 sein müsste)
und dann noch
[mm] \bruch{-(0,5+0,5ba^2)x^2}{x} [/mm] und weitere Terme, bei denen sich das x nicht komplett wegkürzt. All diese Terme gehen, da x (nach dem Kürzen von x) nur noch im Zähler steht, gegen Null.
Fassen wir zusammen:
Alle Probleme sind gelöst, wenn
(1-b)=0 und -ba=4 gilt.
Dein Weg mit L'Hospital müsste auch fünktionieren, du darfst nur die Differenz nicht auseinandernehmen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 14.02.2010 | | Autor: | kappen |
Ahh, ich habe natürlich auch nen Fehler gemacht bei l'Hopital, wenn ich schon ableite und davon ausgehe, dass b=1 ist, so habe ich e^ax direkt als 1 betrachtet und somit nicht mehr abgeleitet..
Richtig müsste es so sein:
b=1, weil sonst l'hopital nicht möglich ist!
lim x->0 [mm] \bruch{-sinx-ae^{ax}}{1}=4 \gdw [/mm] 0-a=4 [mm] \gdw [/mm] a=-4
Die Reihenentwicklung muss ich mir angucken. Wenn du die Zusammengefasst hast, ist es mir klar, dass die Teile mit x gegen 0 gehen, muss mir die zwischenschritte aber nochmal ansehen :)
Danke
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