Grenzwert Altern. Produktreih < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige dass die Produktreihe konvergiert und bestimme den Grenzwert
[mm] \produkt_{k=1}^{\infty} [/mm] (1- [mm] \bruch{(-1)^k}{k}) [/mm] |
Ich habe schonmal die ersten paar Werte aufgeschrieben und komme zu der Erkentnis dass für n ungerade [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] gilt
und für n gerade ist [mm] a_n [/mm] = 1
Also kann ich die Reihe aufteilen und die Aussagen induktiv beweisen.
Aber was dann? Ich weiß leider nicht wie ich jetzt den Grenzwert ausrechne.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo helicopter!
Berechne die beiden Häufungspunkte; sprich die jeweiligen Grenzwerte der beiden Teilfolgen [mm] $a_{2k}$ [/mm] bzw. [mm] $a_{2k+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Komme bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{2k+1} [/mm] = 1
also passts.
Noch eine Frage zur Induktion, muss ich diese über
[mm] \produkt_{k=1}^{2n} 1-\bruch{(-1)^{2k}}{2k} [/mm] und
[mm] \produkt_{k=0}^{2n+1} 1-\bruch{(-1)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Komme bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2k+1}[/mm] = 1
> also passts.
Gut!
>
> Noch eine Frage zur Induktion, muss ich diese über
> [mm]\produkt_{k=1}^{2n} 1-\bruch{(-1)^{2k}}{2k}[/mm] und
> [mm]\produkt_{k=0}^{2n+1} 1-\bruch{(-1)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
> machen?
Nein. Die Glieder der beiden Teilfolgen sind doch einfach die "Partialprodukte", also
[mm]\produkt_{k=1}^{2n} 1-\bruch{(-1)^{k}}{k}[/mm] und
[mm]\produkt_{k=1}^{2n+1} 1-\bruch{(-1)^{k}}{k}[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 11.06.2012 | | Autor: | helicopter |
Alles klar habe alles hingekriegt.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige dass die Produktreihe konvergiert und bestimme den
> Grenzwert
> [mm]\produkt_{k=1}^{\infty}[/mm] (1- [mm]\bruch{(-1)^k}{k})[/mm]
> Ich habe schonmal die ersten paar Werte aufgeschrieben und
> komme zu der Erkentnis dass für n ungerade [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] gilt
> und für n gerade ist [mm]a_n[/mm] = 1
Das ist doch nicht richtig !
Für gerades n ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm]
FRED
> Also kann ich die Reihe aufteilen und die Aussagen
> induktiv beweisen.
>
> Aber was dann? Ich weiß leider nicht wie ich jetzt den
> Grenzwert ausrechne.
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Di 12.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Zeige dass die Produktreihe konvergiert und bestimme den
> > Grenzwert
> > [mm]\produkt_{k=1}^{\infty}[/mm] (1- [mm]\bruch{(-1)^k}{k})[/mm]
> > Ich habe schonmal die ersten paar Werte aufgeschrieben
> und
> > komme zu der Erkentnis dass für n ungerade [mm]a_n[/mm] =
> > [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] gilt
>
>
>
> > und für n gerade ist [mm]a_n[/mm] = 1
>
>
> Das ist doch nicht richtig !
>
> Für gerades n ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm]
Ja, genau das ist mir zuerst auch durch den Kopf gegangen. Aber [mm] $a_n$ [/mm] steht nicht für das n-te Glied des Produkts, sondern für das n-te Partialprodukt.
Gruß,
Wolfgang
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