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| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte:
a) [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \bruch{n^2 + ln(n)}{\wurzel{n^4-n^3}} \right) [/mm]
b) [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \bruch{4^{n+1}+3^n}{4^n+3} \right) [/mm]
c) [mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1} [/mm] |
a) Ich hab mir überlegt, dass der Zähler für [mm] n->\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt. Genauso mit dem Nenner. Kann ich jetzt sagen, dass der Ganze Ausdruck gegen 1 strebt, weil [mm] \infty/\infty=1? [/mm] Oder wächsen Nenner bzw. Zähler in einerm bestimmten Verhältnis, sodass der Ausdruck einen grenzwert annimmt?
b) Gleiche Überlegung wie bei a). nenner und Zähler streben gegen Unendlich -> Ausdruck strebt gegen 1.
c) Wieder ähnlich. Zwei Terme, die beide gegen Unendlich streben. Wobei diesmal der Gesamtausdruck gegen 0 strebt oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Fr 15.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Grenzwerte:
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> a) [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \bruch{n^2 + ln(n)}{\wurzel{n^4-n^3}} \right)[/mm]
>
> b) [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \bruch{4^{n+1}+3^n}{4^n+3} \right)[/mm]
>
> c) [mm]\lim_{n \to \infty}\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}[/mm]
> a)
> Ich hab mir überlegt, dass der Zähler für [mm]n->\infty[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm] strebt. Genauso mit dem Nenner. Kann ich jetzt
> sagen, dass der Ganze Ausdruck gegen 1 strebt, weil
> [mm]\infty/\infty=1?[/mm] Oder wächsen Nenner bzw. Zähler in
> einerm bestimmten Verhältnis, sodass der Ausdruck einen
> grenzwert annimmt?
>
> b) Gleiche Überlegung wie bei a). nenner und Zähler
> streben gegen Unendlich -> Ausdruck strebt gegen 1.
Hallo,
nach dieser Logik müsste der Grenzwert von [mm] $\frac{2n}{n}$ [/mm] auch 1 ergeben ("unendlich durch unendlich"), allerdings ist der Grenzwert 2.
Auch [mm] $\frac{n^3}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{n}{n^3}$ [/mm] sind vom Typ "unendlich durch unendlich" und ergeben jeweils NICHT 1.
>
> c) Wieder ähnlich. Zwei Terme, die beide gegen Unendlich
> streben. Wobei diesmal der Gesamtausdruck gegen 0 strebt
> oder?
Dividiere in a) Zähler und Nenner jeweils durch [mm] $n^2$ [/mm] und bilde erst danach den Grenzwert.
Kürze entsprechend in b) mit [mm] $4^n$.
[/mm]
Erweitere c) mit der Summe beider Wurzeln (3. binomische Formel)
Gruß Abakus
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Ich habe mich mal so versucht wie du es mir geraten hast:
[mm]\lim_{n \to \infty}\left( \bruch{n^2 + ln(n)}{\wurzel{n^4-n^3}} \right) /n^2
=\left( \bruch{1+\bruch{ln(n)}{n^2}}{\bruch{\wurzel{n^4-n^3}}{n^2}} \right [/mm]
=> Das bringt mich aber nicht richtig weiter oder? Hab ich einen Fehler gemacht beim Teilen?
b) Kürzen mit [mm] 4^n
[/mm]
[mm]\left( \bruch{4+(\bruch{3}{4})^n}{1+\bruch{3}{4^n}} \right)[/mm]
Der Ausdruck strebt dann gegen 4, weil die beiden Bruche mit den Potenzen gegen 0 streben.
c) [mm]\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}[/mm]
= [mm] n^2+1-n^2-2n-1
[/mm]
= -2n
Also strebt der Ausdruck gegen [mm] -\infty
[/mm]
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> Ich habe mich mal so versucht wie du es mir geraten hast:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \bruch{n^2 + ln(n)}{\wurzel{n^4-n^3}} \right) /n^2
=\left( \bruch{1+\bruch{ln(n)}{n^2}}{\bruch{\wurzel{n^4-n^3}}{n^2}} \right[/mm]
>
> => Das bringt mich aber nicht richtig weiter oder? Hab ich
> einen Fehler gemacht beim Teilen?
Nein, alles richtig soweit. Klammere im Nenner in deiner Wurzel nun [mm] $n^4$ [/mm] aus und ziehe das Resultat vor die Wurzel. Kürze danach!
Dann Grenzwert bilden.
>
> b) Kürzen mit [mm]4^n[/mm]
> [mm]\left( \bruch{4+(\bruch{3}{4})^n}{1+\bruch{3}{4^n}} \right)[/mm]
>
> Der Ausdruck strebt dann gegen 4, weil die beiden Bruche
> mit den Potenzen gegen 0 streben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c)
> [mm]\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}[/mm]
> = [mm]n^2+1-n^2-2n-1[/mm]
> = -2n
> Also strebt der Ausdruck gegen [mm]-\infty[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Erweiten heißt nicht malnehmen.
Du brauchst einen Ausdruck, sodass du eine dritte binomische Formel erhälst.
Erweitern kannst du aber nur mit der Zahl eins, da diese deine Folge nicht verändert.
Zum Beispiel:
[mm] $a_n=a_n\cdot \frac{b_n}{b_n}$
[/mm]
In deinem Fall ist [mm] $b_n=\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}$
[/mm]
Valerie
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Danke für deine Hilfe!!
a) Ich betracht jetzt mal nur den Nenner:
[mm] \bruch{\wurzel{4^n-3^n}}{n^2}
= \bruch{n^2*\wurzel{1-1/n}}{n^2} [/mm] jetzt kann ich die [mm] n^2 [/mm] kürzen oder?
[mm]= \wurzel{1-1/n} [/mm]
Nun wieder der gesamte Bruch:
[mm] \bruch{1+\bruch{ln(n)}{n^2}}{\wurzel{1-1/n}} [/mm]
[mm] ln(n)/n^2 [/mm] strebt gegen 0. Die Wurzel gegen 1. Und somit der ganze Bruch gegen 1.
c) Zum erweitern bräucht ich noch ein Tipp. Ich steh da irgendwie völlig aufm Schlauch. Es geht ja irgendwie um die Anwendung der 3. Binomischen Formel.
(a+b)*(a-b) = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2
[/mm]
Meine "Bruchdifferenz" ist (a-b) oder? Nun muss ich die mit der Summe erweitern, dass die Wurzeln rausfallen. Ich darf aber nur mit 1 erweitern. Vielleicht mit:
[mm] \bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}} [/mm]
Aber dann steh ich ja vorm gleichen Problem nur mit vertauschtem Rechenzeichen.
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Hallo bavarian,
> a) Ich betracht jetzt mal nur den Nenner:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{4^n-3^n}}{n^2}
Hier hast Du Dich vertan. Unter der Wurzel steht n^4-n^3.
= \bruch{n^2*\wurzel{1-1/n}}{n^2}[/mm] jetzt kann ich die [mm]n^2[/mm]
> kürzen oder?
Jawoll.
> [mm]= \wurzel{1-1/n}[/mm]
>
> Nun wieder der gesamte Bruch:
>
> [mm]\bruch{1+\bruch{ln(n)}{n^2}}{\wurzel{1-1/n}}[/mm]
>
> [mm]ln(n)/n^2[/mm] strebt gegen 0. Die Wurzel gegen 1. Und somit der
> ganze Bruch gegen 1.
Richtig.
> c) Zum erweitern bräucht ich noch ein Tipp. Ich steh da
> irgendwie völlig aufm Schlauch. Es geht ja irgendwie um
> die Anwendung der 3. Binomischen Formel.
> (a+b)*(a-b) = [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm]
> Meine "Bruchdifferenz" ist (a-b) oder? Nun muss ich die
> mit der Summe erweitern, dass die Wurzeln rausfallen. Ich
> darf aber nur mit 1 erweitern. Vielleicht mit:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
Ja, genau.
> Aber dann steh ich ja vorm gleichen Problem nur mit
> vertauschtem Rechenzeichen.
Nein, tust Du nicht. Machs doch einfach mal.
Grüße
reverend
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c) [mm] [mm] \wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^2+1-n^2-2n-1}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-2n}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}} {\mm}
[/mm]
Aber ich sehe den Grenzwert immer noch nicht. Hab ich etwas vergessen? Oder strebt das Ganze gegen 0, weil der Nenner schneller "wächst" als der Zähler.
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Hallo,
> c)
> [mm]\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^2+1-n^2-2n-1}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
Im Zähler stimmen nicht alle Vorzeichen. Da müsste doch stehen [mm] n^2+1-(n^2-2n-1), [/mm] und das ist $2n+2$.
> = [mm]\bruch{-2n}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}} {\mm}[/mm]
> Aber ich sehe den Grenzwert immer noch nicht. Hab ich
> etwas vergessen? Oder strebt das Ganze gegen 0, weil der
> Nenner schneller "wächst" als der Zähler.
Tut er nicht. Klammere aus den Wurzeln jeweils n (also [mm] n^2 [/mm] unter der Wurzel) aus und kürze.
Grüße
reverend
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> Hallo,
>
> > c)
> >
> [mm]\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{n^2+1-n^2-2n-1}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
>
> Im Zähler stimmen nicht alle Vorzeichen. Da müsste doch
> stehen [mm]n^2+1-(n^2-2n-1),[/mm] und das ist [mm]2n+2[/mm].
>
> > = [mm]\bruch{-2n}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}} {\mm}[/mm]
>
> > Aber ich sehe den Grenzwert immer noch nicht. Hab ich
> > etwas vergessen? Oder strebt das Ganze gegen 0, weil der
> > Nenner schneller "wächst" als der Zähler.
>
> Tut er nicht. Klammere aus den Wurzeln jeweils n (also [mm]n^2[/mm]
> unter der Wurzel) aus und kürze.
>
> Grüße
> reverend
Sorry dass ich den alten Thread nochmal rauskram
. Bin grad am lernen...
Also ich hab am ende folgendes stehen:
[mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{2n+2}{n\wurzel{1+1/n}+\wurzel{1-2/n-1/n^2}[/mm]
Jetzt kürz ich das n noch raus:
[mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{2+2/n}{\wurzel{1+1/n}+\wurzel{1-2/n-1/n^2}[/mm]
=2
In meinen Lösungen steht als Ergebnis aber 1. Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo bavarian,
das ist aber ein später Wiederbelebungsversuch. 
> > Hallo,
> >
> > > c)
> > >
> >
> [mm]\wurzel{n^2+1}-\wurzel{n^2-2n-1}*\bruch{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
> >
> > > = [mm]\bruch{n^2+1-n^2-2n-1}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}}[/mm]
> >
> > Im Zähler stimmen nicht alle Vorzeichen. Da müsste doch
> > stehen [mm]n^2+1-(n^2-2n-1),[/mm] und das ist [mm]2n+2[/mm].
> >
> > > = [mm]\bruch{-2n}{\wurzel{n^2+1}+\wurzel{n^2-2n-1}} {\mm}[/mm]
>
> >
> > > Aber ich sehe den Grenzwert immer noch nicht. Hab ich
> > > etwas vergessen? Oder strebt das Ganze gegen 0, weil der
> > > Nenner schneller "wächst" als der Zähler.
> >
> > Tut er nicht. Klammere aus den Wurzeln jeweils n (also [mm]n^2[/mm]
> > unter der Wurzel) aus und kürze.
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Sorry dass ich den alten Thread nochmal rauskram
> . Bin grad am lernen...
Ach so.
> Also ich hab am ende folgendes stehen:
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{2n+2}{n\wurzel{1+1/n}+\wurzel{1-2/n-1/n^2}[/mm]
Hier fehlt noch ein n vor der zweiten Wurzel.
> Jetzt kürz ich das n noch raus:
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{2+2/n}{\wurzel{1+1/n}+\wurzel{1-2/n-1/n^2}[/mm]
Dann stimmt das auch wieder.
> =2
>
> In meinen Lösungen steht als Ergebnis aber 1. Was habe ich
> falsch gemacht?
Der Zähler geht gegen 2, im Nenner die linke Wurzel gegen 1, die rechte auch.
Ergebnis also: [mm] \br{2}{1+1}=?
[/mm]
Grüße
reverend
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