Grenzwert Binomalkoeffizient < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 06.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{5n\\4n} [/mm] ^- 1 soll auf Konvergenzverghalten untersucht werden. |
mit dem Quotientenkriterium hab ich das soweit umgewandelt, dass sich die Fakultäten rausgekürzt haben. jetzt hab ich noch: [mm] ((5n+5)(5n+4)(5nn+4+3)(5n+2)(5n+1))\((4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)) [/mm] ^-1 so und wie kann ich jetzt hier das q bestimmen, also den Grezwert?
durch n kürzen?
vielen dank im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hundert,
das ist aber unvollständig, ich nehme an, du sollst die zugehörige Reihe auf Konvergenz untersuchen, also
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\vektor{5n\\4n}^{-1}$
[/mm]
Da ist das QK schon genau die richtige Idee und das "Umwandeln", um die Fakultäten rauszuhauen ebenfalls.
Allerdings sieht das irgendwie komisch aus.
Wenn du die Definition [mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$ [/mm] benutzt, ergibt sich doch
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\vektor{5n+5\\4n+4}^{-1}}{\vektor{5n\\4n}^{-1}}=\frac{\left(\frac{(5n+5)!}{(4n+4)!\cdot{}(n+1)!}\right)^{-1}}{\left(\frac{(5n)!}{(4n)!\cdot{}n!}\right)^{-1}}=\frac{(4n+4)!\cdot{}(n+1)!\cdot{}(5n)!}{(5n+5)!\cdot{}n!\cdot{}(4n)!}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(4n)!(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)\cdot{}n!(n+1)}{n!\cdot{}(4n)!\cdot{}(5n)!(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)(n+1)}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}$
[/mm]
Und dieser Bruch ist von der "Größenordnung" [mm] $\frac{4^4n^5}{5^5n^5}$
[/mm]
(Wenn du alles ausmultiplizierst und die jeweils höchste Potenz von n im Zähler und Nenner ausklammerst)
Also strebt der Bruch für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{4^4}{5^5}:=q [/mm] \ < \ 1$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 So 06.01.2008 | | Autor: | hundert |
vielen dank für die deine hilfe
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