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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} exp(-x) * cosh(x)[/mm] |
Hallo zusammen,
ich gehe davon aus, dass ich hier zunächst das Cauchyprodukt berechnen und dann davon den Grenzwert ermitteln muss – stimmt das?
[mm]\left ( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-x)^k}{k!} \right ) * \left ( \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{2i}}{(2i)!} \right ) = \summe_{n=0}^{\infty} \left ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-x)^k*x^{2n-k}}{k!(2n-k)!} \right )[/mm]
Ist das soweit erstmal richtig?
Wie verfahre ich dann von hier an? Ich habe ein für mich nicht richtig nachvollziehbares Beispiel, in dem jetzt einfach nur noch die innere Summe betrachtet wird. Aber selbst dann frage ich mich: Wie kann ich so den Grenzwert berechnen?
Ich wäre Euch dankbar, wenn Ihr mir hier möglichst kleinschrittig (denn für mich ist das alles noch Neuland) weiterhelfen würdet.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Def von [mm] cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2 [/mm] kennst oder zeigst dann brauchst du doch kein Cauchyprodukt?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> wenn du die Def von [mm]cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2[/mm] kennst oder
> zeigst dann brauchst du doch kein Cauchyprodukt?
diese Definition kenne ich (dran gedacht hab ich allerdings nicht). Also kann ich wie folgt vorgehen, richtig?
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \left ( exp(-x) * \bruch{1}{2} * (exp(x) + exp(-x)) \right )[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{2} \limes_{x\rightarrow\infty} \left ( exp(-x) * exp(x) + exp(-x) * exp(-x) \right )[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{2} \limes_{x\rightarrow\infty} \left ( 1 + exp(-2x) \right ) = \bruch{1}{2}[/mm]
Könnte mir trotzdem jemand zeigen, wie man diese Aufgabe mit dem Cauchyprodukt löst? Das wäre sehr nett und hilfreich für mich.
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo leduart,
>
> > wenn du die Def von [mm]cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2[/mm] kennst oder
> > zeigst dann brauchst du doch kein Cauchyprodukt?
>
> diese Definition kenne ich (dran gedacht hab ich allerdings
> nicht). Also kann ich wie folgt vorgehen, richtig?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \left ( exp(-x) * \bruch{1}{2} * (exp(x) + exp(-x)) \right )[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2} \limes_{x\rightarrow\infty} \left ( exp(-x) * exp(x) + exp(-x) * exp(-x) \right )[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2} \limes_{x\rightarrow\infty} \left ( 1 + exp(-2x) \right ) = \bruch{1}{2}[/mm]
wieso stehen da [mm] $\gdw$ [/mm] zwischen "leeren Aussagen"? Ich meine:
$$2x+6x=8$$
[mm] $$\red{\;\gdw 8x}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] x=1$$
ist genauso "Unsinn"... Achte bitte auf sowas!
> Könnte mir trotzdem jemand zeigen, wie man diese Aufgabe
> mit dem Cauchyprodukt löst? Das wäre sehr nett und
> hilfreich für mich.
Wir können vor allem erstmal "weiterrechnen":
$$ [mm] \left ( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-x)^k}{k!} \right [/mm] ) [mm] \cdot{} \left ( \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{2i}}{(2i)!} \right [/mm] ) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \left ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-x)^k\cdot{}x^{2n-k}}{k!(2n-k)!} \right )=\summe_{n=0}^{\infty} \left ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k\cdot{}x^{2n}}{k!(2n-k)!} \right [/mm] )$$
[mm] $$=\summe_{n=0}^{\infty} x^{2n}\left ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k!(2n-k)!} \right )=\summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\left ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k *((2n)!)}{k!(2n-k)!} \right )=\summe_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\left ( \summe_{k=0}^{n} (-1)^k *{2n \choose k}\right [/mm] )$$
Man muss sich jetzt ein wenig Gedanken machen, was mit
[mm] $$(\*)\;\;\;\summe_{k=0}^{n} (-1)^k [/mm] *{2n [mm] \choose [/mm] k}$$
los ist.
Was dabei helfen könnte, ist, dass
[mm] $$(\*\*)\;\;\;0^m=(1+(-1))^m=\sum_{k=0}^\red{m} [/mm] {m [mm] \choose k}(-1)^k\;\;\; \text{ für alle }m \in \IN_0$$
[/mm]
gilt:
Beachte dabei aber, dass Du nicht [mm] $m=n\,$ [/mm] setzen kannst, denn dann
stimmt zwar das "rote [mm] $m\,$", [/mm] aber bei ${m [mm] \choose [/mm] k}$ entsteht dann
in [mm] $(\*\*)$ [/mm] auch ${n [mm] \choose [/mm] k}$ statt des ${2n [mm] \choose [/mm] k}$ wie in [mm] $(\*)$. [/mm]
Ein analoges Argument zeigt, dass Du auch nicht "einfach" [mm] $m=2n\,$ [/mm]
setzen kannst - bzw. hilft das hilft vielleicht eher schon etwas - aber halt
nur indirekt: Denn man kennt ja sowas wie "die Symmetrie des
Binomialkoeffizienten":
$${n [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose n-k}\,.$$
[/mm]
Übrigens sind meine Umformungen wenig erstaunlich:
Denn man kann [mm] $\exp(v+w)=\exp(v)*\exp(w)$ [/mm] ja eben mithilfe des
Cauchyprodukts und der Reihenentwicklung von [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] beweisen -
der Beweis funktioniert "sogar" für alle $v,w [mm] \in \IC$ [/mm] so!
Entsprechend würdest Du mit dem Cauchyprodukt genau den gleichen
Beweis erhalten wie bei Dir oben (mal abgesehen von Deiner "falschen
Benutzung der mathematischen Symbole an manchen Stellen"), wenn Du
[mm] $$\exp(-x)*\cosh(x)=\frac{1}{2}\left(\exp(-x)*\exp(-x)+\exp(-x)*\exp(x)\right)$$
[/mm]
zunächst schreibst und dann sowohl [mm] $\exp(-x)*\exp(-x)$ [/mm] mit dem
Cauchyprodukt als auch [mm] $\exp(-x)*\exp(x)$ [/mm] mit dem Cauchyprodukt
berechnest.
Anders gesagt: Durch das "Schreiben von [mm] $(\exp(x)+\exp(-x))/2$ [/mm] in eine
einzige Reihe" gewinnt man hier nix - sondern man macht sich mehr Arbeit,
als man müßte - weil dann sowas komisches wie in [mm] $(\*)$ [/mm] entsteht. Am
einfachsten ist die direkte Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Funktionalgleichung, und
wenn man den Umweg über das Cauchyprodukt wählt und dann halt nicht,
wie Du es getan hast: [mm] $\cosh(x)\,$ [/mm] als eine einzige Reihe schreibt, sondern
eben [mm] $\cosh(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2$ [/mm] benutzt und erst DANACH das
Cauchyprodukt von [mm] $(\exp(-x)*\exp(-x)$ [/mm] und auch von [mm] $\exp(-x)*\exp(x)$ [/mm]
jeweils berechnet, macht man im Prinzip nichts anderes, als wieder diese
Funktionalgleichung anzuwenden, da, wie gesagt:
[mm] $$\exp(v+w)=\exp(v)*\exp(w)$$
[/mm]
eben mithilfe des Cauchyproduktes bewiesen werden kann!
Gruß,
Marcel
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