Grenzwert E-Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | [mm] $\lim_{x \to \infty} -e^{-x}+3e^{-2x}
[/mm]
[mm] \lim_{x \to -\infty} -e^{-x}+3e^{-2x}$ [/mm] |
Hoi.
Das soll ich berechnen und die Lösung sind ja
[mm] $\lim_{x \to \infty} -e^{-x}+3e^{-2x} [/mm] = -0$
[mm] $\lim_{x \to -\infty} -e^{-x}+3e^{-2x} [/mm] = + [mm] \infty$
[/mm]
Wie kommt man hier auf das Vorzeichen? warum ist es nich plus 0 oder minus unendlich? Versteh ich nich, hat jemand ne idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 09.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]$\limes_{x\to\infty} -e^{-x}+3e^{-2x}[/mm]
[mm] =\limes_{x\to\infty}{-e^{-x}}+\limes_{x\to\infty}{3e^{-2x}}
[/mm]
[mm] =-\limes_{x\to\infty}{e^{-x}}+3\limes_{x\to\infty}{e^{-2x}}
[/mm]
=-0+3*0
=0
> [mm]\lim_{x \to -\infty} -e^{-x}+3e^{-2x}$[/mm]
Funktioniert nach dem selben Schema.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
> > [mm]$\limes_{x\to\infty} -e^{-x}+3e^{-2x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\to\infty}{-e^{-x}}+\limes_{x\to\infty}{3e^{-2x}}[/mm]
>
> [mm]=-\limes_{x\to\infty}{e^{-x}}+3\limes_{x\to\infty}{e^{-2x}}[/mm]
> =-0+3*0
> =0
>
> > [mm]\lim_{x \to -\infty} -e^{-x}+3e^{-2x}$[/mm]
> Funktioniert
> nach dem selben Schema.
Ich meinte aber etwas anderes.da habe ich mich wohl schlecht ausgedrückt
=-0+3*0
Dieser schritt sieht für mich so aus, als würde es gegen +0 gehen, nicht gegen -0.
Die Problematik ist also die Annäherung von oben oder unten gegen die x-Achse.
Aber die zweite nachm gleichen Schema?
$ [mm] $\limes_{x\to -\infty} -e^{-x}+3e^{-2x} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\to -\infty}{-e^{-x}}+\limes_{x\to-\infty}{3e^{-2x}} [/mm] $
$ [mm] =-\limes_{x\to -\infty}{e^{-x}}+3\limes_{x\to-\infty}{e^{-2x}} [/mm] $
[mm] $=-\infty+3\infty$
[/mm]
Damit sehe ich auch nicht wirklich dass es gegen -Unendlich geht. Sieht für mich eher nach plus aus.
Gruß, Wehm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
>
> Ich meinte aber etwas anderes.da habe ich mich wohl
> schlecht ausgedrückt
>
> =-0+3*0
>
> Dieser schritt sieht für mich so aus, als würde es gegen +0
> gehen, nicht gegen -0.
>
> Die Problematik ist also die Annäherung von oben oder unten
> gegen die x-Achse.
>
> Aber die zweite nachm gleichen Schema?
>
>
> Damit sehe ich auch nicht wirklich dass es gegen -Unendlich
> geht. Sieht für mich eher nach plus aus.
>
> Gruß, Wehm
Hi,
-0 bedeutet, die Funktion nährt sich asymptotisch an x-Asche von unten (IV Quadrant). D.h. wenn x eine unendlich große Zahl ist, dann ist f(x) eine unendlich kleine (nah zu 0) negative Zahl
So kommt man auf das Ergebnis
[mm] \limes_{x\to\infty} -e^{-x}+3e^{-2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\to\infty}-\bruch{1}{e^{x}}+ \bruch{3}{e^{2x}} [/mm]
Jetzt stell dir vor x ist eine sehr große positive Zahl, dann ist [mm] -\bruch{1}{e^{x}} [/mm] eine sehr kleine negative Zahl und [mm] \bruch{3}{e^{2x}} [/mm] eine sehr kleine positive Zahl. Aber der Nenner im zweiten Bruch [mm] e^{2x} [/mm] ist größer als der Nenner im ersten Bruch [mm] e^{x}, [/mm] so ist [mm] \bruch{3}{e^{2x}} [/mm] kleiner als [mm] |\bruch{1}{e^{x}}|
[/mm]
Also:
[mm] -\bruch{1}{e^{x}}+ \bruch{3}{e^{2x}} [/mm] ist eine sehr kleine negative Zahl.
Analog zum 1.Fall. Wenn x-> [mm] -\infty, [/mm] dann [mm] -e^{-x} [/mm] -> [mm] -\infty [/mm] und [mm] e^{-2x} [/mm] -> [mm] \infty. [/mm] Aber [mm] e^{-2x} [/mm] ist größer als [mm] e^{-x}, [/mm] so ist [mm] 3e^{-2x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] eine unendlich große positive Zahl.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Danke dir Mary15, danke Marius!
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