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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 12.02.2013 | | Autor: | Fagl |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] 1/(e^x-1)=1/x-1/2+1/12x+o(x) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 |
Hi,
Ich komme einfach nicht weiter. Mit einer Taylorentwicklung bei 0 klappt es nicht da [mm] e^0-1=0. [/mm] Mit l' Hopital bin ich auch nicht weiter gekommen. Der vielversprechenste Ansatz war noch die Summenformel von [mm] e^x, [/mm] hat mich aber auch nicht zum ziel gebracht.
[mm] 1/(e^x-1) [/mm] ist ja [mm] (\summe_{i=1}^{n} x^n/n!)^-1
[/mm]
Also zu zeigen: [mm] \bruch{((\summe_{i=1}^{n} x^n/n!)^-1)-(1/x-1/2+1/12x)}{x}=0 [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass sich der Kehrbruch der ersten 3 Summenglieder mit 1/x-1/2+1/12x rauskürzen würde dann hätte ich es geschafft, aber das krieg ich nicht hin. Irgendwelche Tipps?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 12.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Zeige: [mm]1/(e^x-1)=1/x-1/2+1/12x+o(x)[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
> Hi,
> Ich komme einfach nicht weiter. Mit einer
> Taylorentwicklung bei 0 klappt es nicht da [mm]e^0-1=0.[/mm] Mit l'
> Hopital bin ich auch nicht weiter gekommen. Der
> vielversprechenste Ansatz war noch die Summenformel von
> [mm]e^x,[/mm] hat mich aber auch nicht zum ziel gebracht.
> [mm]1/(e^x-1)[/mm] ist ja [mm](\summe_{i=1}^{n} x^n/n!)^-1[/mm]
> Also zu
> zeigen: [mm]\bruch{((\summe_{i=1}^{n} x^n/n!)^-1)-(1/x-1/2+1/12x)}{x}=0[/mm]
> für x [mm]\to[/mm] 0
> Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass sich der Kehrbruch der
> ersten 3 Summenglieder mit 1/x-1/2+1/12x rauskürzen würde
> dann hätte ich es geschafft, aber das krieg ich nicht hin.
> Irgendwelche Tipps?
Hallo,
Mache doch mal die Taylorentwicklung an einer beliebigen Stelle x=a
(ganz klassisch mit Ableitungen und Fakultäten und Potenzen [mm] $(x-a)^k$)
[/mm]
und lasse dann a gegen Null gehen).
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 12.02.2013 | | Autor: | Fagl |
Ok verstehe, das heißt dann ich erweitere erst mal mit x und mach dann die Taylorentwicklung bis zum 2. Glied mit Entwicklungspunkt a.
Dann habe ich also f(x)= × [mm] /(e^x-1) [/mm] und muss dann unter Anderem zeigen dass f''(x)/2=1/12 ist. Dass finde ich aber sehr aufwendig und weis auch gar nicht wie ich
[mm] (e^x(e^x(x-2)+x+2))/(e^x-1)^3=1/6 [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Zeigen kann. Ist das wirklich der geschmeidigste Weg und wie würde ich dann diesen Grenzwert bestimmen? Mit l' Hopital?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 12.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Ok verstehe, das heißt dann ich erweitere erst mal mit x
Wieso denn das??? Wenn f(x) kein x im Zähler hat, darfst du doch auch keins "einfach so" hineinschreiben.
Gruß Abakus
> und mach dann die Taylorentwicklung bis zum 2. Glied mit
> Entwicklungspunkt a.
>
> Dann habe ich also f(x)= × [mm]/(e^x-1)[/mm] und muss dann unter
> Anderem zeigen dass f''(x)/2=1/12 ist. Dass finde ich aber
> sehr aufwendig und weis auch gar nicht wie ich
> [mm](e^x(e^x(x-2)+x+2))/(e^x-1)^3=1/6[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
> Zeigen kann. Ist das wirklich der geschmeidigste Weg und
> wie würde ich dann diesen Grenzwert bestimmen? Mit l'
> Hopital?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 12.02.2013 | | Autor: | Fagl |
Ich hab nur die Gleichung mit x erweitert um dann zu zeigen dass die Taylorentwicklung von [mm] x/(e^x-1)=1-1/2x+1/12x^2+o(x^3) [/mm] ist. Geht doch oder?
Wenn ich direkt die Entwicklung von [mm] 1/(e^x-1) [/mm] mache kann das erste Glied ja nicht 1/x sein deshalb dachte ich erweiter ich einfach mal..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 13.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich hab nur die Gleichung mit x erweitert um dann zu zeigen
> dass die Taylorentwicklung von
> [mm]x/(e^x-1)=1-1/2x+1/12x^2+o(x^3)[/mm] ist. Geht doch oder?
> Wenn ich direkt die Entwicklung von [mm]1/(e^x-1)[/mm] mache kann
> das erste Glied ja nicht 1/x sein deshalb dachte ich
> erweiter ich einfach mal..
Hallo,
die Definition einer Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt a findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Definition
In deinem Fall ist [mm] $f(a)=1/(e^a-1)$, $f'(a)=-(e^a)/(e^a-1)^2$
[/mm]
und [mm] $f''(a)=(e^{2a}+e^a)/(e^a-1)^3$
[/mm]
Gruß Abakus
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