Grenzwert Fläche Kreis n-Eck < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo!
Ich möchte die Fläche eines Kreises mit Radius r herleiten mit der n-Eck Methode. Wenn ich meinen Kreis als regelmäßiges n-Eck beschreibe, dann ist die Fläche ja n mal die Fläche der gleichschenkligen Dreiecke mit den zum Kreismittelpunkt gerichteten Winkel 360/n°.
Nach etwas rumrechnen kam ich auf die Formel [mm] F_{Kreis}=n\cdot r^2\cdot \sin(180/n)\cdot \cos(180/n) [/mm] |
Nun muss ich zeigen, dass
[mm] \lim F_{Kreis} [/mm] = [mm] \pi r^2
[/mm]
für [mm] n\rightarrow \infty
[/mm]
Aber da stehe ich auf dem Schlauch!
Vielen Dank!
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Ich möchte die Fläche eines Kreises mit Radius r herleiten
> mit der n-Eck Methode. Wenn ich meinen Kreis als
> regelmäßiges n-Eck beschreibe, dann ist die Fläche ja n mal
> die Fläche der gleichschenkligen Dreiecke mit den zum
> Kreismittelpunkt gerichteten Winkel 360/n°.
>
> Nach etwas rumrechnen kam ich auf die Formel
> [mm]F_{Kreis}=n\cdot r^2\cdot \sin(180/n)\cdot \cos(180/n)[/mm]
> Nun muss ich zeigen, dass
> [mm]\lim F_{Kreis}[/mm] = [mm]\pi r^2[/mm]
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
>
> Aber da stehe ich auf dem Schlauch!
Hallo,
das kommt drauf an...
Wenn Du [mm] \pi [/mm] bisher noch gar nicht kennst, dann mußt Du nun irgendwie zeigen, daß die Folge [mm] p_n=n*\sin(189/n)*cos(180/n) [/mm] konvergiert.
Danach definierst Du dann kurzerhand: [mm] \pi:= [/mm] dieser Grenzwert.
Anders sieht es natürlich aus, wenn Du [mm] \pi [/mm] schon irgendwie definiert vorliegen hast und daraufzusteuern willst. Dann müßtest Du aber verraten, wie [mm] \pi [/mm] bei Dir definiert ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo!
Es ist eher so gemeint, dass ich sinus und cosinus, also auch [mm] \pi [/mm] schon kenne. Und dann will ich einfach den Grenzwert [mm] \pi [/mm] zeigen.
Dankeschön
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 So 07.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Martin!
Der Grenzwert $\limes_{n\rightarrow\infty}\cos\left(\bruch{180°}{n}\right)$ sollte kein Problem sein.
Verbleibt noch: $\limes_{n\rightarrow\infty}n*\sin\left(\bruch{180°}{n}\right)$
Formen wir diesen um:
$$\limes_{n\rightarrow\infty}n*\sin\left(\bruch{180°}{n}\right) \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{180°}{n}\right)}{\bruch{1}{n}$$
Nun haben wir einen unbestimmten Ausdruck der Form $\bruch{0}{0}$ , so dass wir Herrn  de l'Hospital bemühen können.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ok, ich hab jetzt folgendes gemacht:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin(180/n)}{n^{-1}} [/mm] = [mm] \lim \frac{-\cos(180/n)\cdot \frac{180}{n^2}}{-(\frac 1 n )^{-2}} [/mm] = [mm] \lim \cos{180/n}\cdot \frac{180}{n^4}
[/mm]
aber das hilft mir auch nicht weiter...das sieht doch jetzt so aus, als ob [mm] 1/n^4 [/mm] stärker ist als der cosinus und 0 rauskommt? Bin ich vielleicht auf dem falschen Weg und da kommt gar kein [mm] \pi [/mm] raus?
Vielen Dank!
Martin
|
|
|
| |
|
Hallo Martin,
> Ok, ich hab jetzt folgendes gemacht:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin(180/n)}{n^{-1}}[/mm] = [mm]\lim \frac{-\cos(180/n)\cdot \frac{180}{n^2}}{-(\frac 1 n )^{-2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, den Zähler hast du richtig abgeleitet, im Nenner ist was schiefglaufen: das muss entweder [mm] $-n^{-2}$ [/mm] lauten oder [mm] $-\frac{1}{n^2}$ [/mm] ...
Ich schreibe die $180°$ mal als [mm] $\pi$:
[/mm]
Es ist [mm] $\frac{\left[\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right]'}{\left[\frac{1}{n}\right]'}=\frac{-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot{}\frac{\pi}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi\cdot{}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{n^2}{n^2}}=\pi\cdot{}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$
[/mm]
Was passiert nun hier für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
> = [mm]\lim \cos{180/n}\cdot \frac{180}{n^4}[/mm]
>
> aber das hilft mir auch nicht weiter...das sieht doch jetzt
> so aus, als ob [mm]1/n^4[/mm] stärker ist als der cosinus und 0
> rauskommt? Bin ich vielleicht auf dem falschen Weg und da
> kommt gar kein [mm]\pi[/mm] raus?
Doch, nur das [mm] $\frac{1}{n^4}$ [/mm] ist falsch; siehe oben ..
>
> Vielen Dank!
> Martin
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 07.06.2009 | | Autor: | martin1984 |
Alles klar, sau doof von mir, jetzt isses klar. danke
|
|
|
|
