Grenzwert Folgenkriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit dem Folgenkriterium, dass die Funktion [mm]f: D \to \IR[/mm] mit
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x \not= 0\\
0, & \mbox{für }x=0
\end{matrix}\right\ [/mm]
in [mm]x_0 = 0[/mm] unstetig ist. |
f stetig in [mm] x_0 [/mm] bedeutet, dass für jede Folge [mm] x_n \to x_0[/mm] auch [mm] f(x_n ) \to f(x_0 )[/mm] gilt.
1. Finde eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0 [/mm]
wähle [mm]x_n = \bruch{1}{ \pi n + \bruch{1}{2} \pi} [/mm] Nullfolge (Bekannt aus der Vorlesung)
2. berechne [mm]f(x_n )[/mm]
[mm]f (x_n ) = sin (\bruch{1}{x_n }) = sin ( \pi n + \bruch{1}{2} \pi)
= sin ( \pi n) cos (\bruch{1}{2}\pi) + sin (\bruch{1}{2}\pi) cos ( \pi n)[/mm]
[mm]sin ( \pi n) = 0 [/mm] haben wir per Induktion gezeigt
[mm]\Rightarrow sin ( \pi n) cos (\bruch{1}{2}\pi) = 0 [/mm]
[mm]sin (\bruch{1}{2}\pi) =1 [/mm]
und [mm]cos ( \pi n) \in \{-1,1\}[/mm] divergiert
also ist [mm]f (x_n )[/mm]nicht stetig in [mm]x_0[/mm]
kann man das so machen?
und kann man [mm]cos ( \pi n)[/mm] als [mm](-1)^n[/mm] schreiben?
Merci und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ella!
Sieht alles gut aus. Und auch Deine Darstellung für [mm] $\cos(\pi*n)$ [/mm] ist okay.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 07.12.2010 | | Autor: | ella87 |
Danke für die schnelle Antwort!
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