matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und GrenzwerteGrenzwert Funktionen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert Funktionen
Grenzwert Funktionen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert Funktionen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Sa 02.12.2017
Autor: Takota

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm] = a [mm] \not= [/mm] 0  [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm]

Hallo.

Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

Gruß
Takota

        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Sa 02.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)[/mm] = a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> Hallo.

>

> Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die
> Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

Wie kommst du darauf? Nach den Grenzwertsätzen müsste das eine Äquivalenz sein, da du ja extra [mm] a\ne{0} [/mm] gefordert hast.

Hast du da irgendeine Quelle, aus der deine Vermutung stammt?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwert Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 02.12.2017
Autor: Takota

Hallo Diophant,
danke für die Rückmeldung. Diese Behauptung steht in meinem Mathelehrbuch bei den Grenzwertsätzen für rellelle Funktionen, als Ergänzung zu diesen. Ich versuch mal den Beweis :-)

[mm] "\Leftarrow" [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{1}{f(x)} [/mm] =  [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm]

[mm] "\Rightarrow" [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x) = a  [mm] \gdw \bruch{1}{ \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] =  [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm]

Ich hoffe das stimmt so? Somit ist die Aussage doch Äquivalent.

Wird wohl ein Druckfehler sein.

Gruß, Takota




Bezug
                        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Sa 02.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,
> danke für die Rückmeldung. Diese Behauptung steht in
> meinem Mathelehrbuch bei den Grenzwertsätzen für rellelle
> Funktionen, als Ergänzung zu diesen. Ich versuch mal den
> Beweis :-)

>

> [mm]"\Leftarrow"[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{1}{f(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> mit [mm]a\not=0[/mm]

>

> [mm]"\Rightarrow"[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm] f(x) = a [mm]\gdw \bruch{1}{ \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]

>

> Ich hoffe das stimmt so?


Nicht ganz. In der zweiten Zeile (der sog. 'Hinrichtung') nimmst du die Äquivalenz vorweg (die du ja erst beweisen möchtest). Also dort einfach einen Implikationspfeil antatt der Äquivalenz setzen und beide Richtungen stehen korrekt da.

> Somit ist die Aussage doch
> Äquivalent.

>

> Wird wohl ein Druckfehler sein.

Entweder das, oder man braucht im Zusammenhang mit einem anderen Beweis nur die eine Richtung.

Um welches Buch handelt es sich?


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 So 03.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die
> Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

ich möchte es anders formulieren: Man benötigt nur die Implikation um Äquivalenz sofort trivial zu erhalten!

Du hast also gegeben für [mm] $a\not= [/mm] 0$
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm]  = a   [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a} \quad(1)$ [/mm]

Und möchtest ebenso zeigen, dass auch gilt:

[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a} \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm]  = a $

Dann fangen wir mal an:
Sei also [mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a}$ [/mm] und setzen wir [mm] $\overline{f} [/mm] = [mm] \frac{1}{f}$ [/mm] und [mm] $\overline{a} [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$, [/mm] dann steht da oben nix anderes als
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\overline{f}(x) [/mm]  = [mm] \overline{a}$ [/mm] und daraus folgt aus (1), dass dann eben gilt: [mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{\overline{f}(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{\overline{a}}$ [/mm]

Einsetzen von [mm] \overline{f} [/mm] und [mm] \overline{a} [/mm] liefert:

[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x)  =  a$

Also die Rückrichtung.

Gruß,
Gono


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]