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Grenzwert Funktionen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Sa 02.12.2017
Autor: Takota

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm] = a [mm] \not= [/mm] 0  [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm]

Hallo.

Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

Gruß
Takota

        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Sa 02.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)[/mm] = a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> Hallo.

>

> Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die
> Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

Wie kommst du darauf? Nach den Grenzwertsätzen müsste das eine Äquivalenz sein, da du ja extra [mm] a\ne{0} [/mm] gefordert hast.

Hast du da irgendeine Quelle, aus der deine Vermutung stammt?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwert Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 02.12.2017
Autor: Takota

Hallo Diophant,
danke für die Rückmeldung. Diese Behauptung steht in meinem Mathelehrbuch bei den Grenzwertsätzen für rellelle Funktionen, als Ergänzung zu diesen. Ich versuch mal den Beweis :-)

[mm] "\Leftarrow" [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{1}{f(x)} [/mm] =  [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm]

[mm] "\Rightarrow" [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x) = a  [mm] \gdw \bruch{1}{ \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] =  [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm]

Ich hoffe das stimmt so? Somit ist die Aussage doch Äquivalent.

Wird wohl ein Druckfehler sein.

Gruß, Takota




Bezug
                        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Sa 02.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,
> danke für die Rückmeldung. Diese Behauptung steht in
> meinem Mathelehrbuch bei den Grenzwertsätzen für rellelle
> Funktionen, als Ergänzung zu diesen. Ich versuch mal den
> Beweis :-)

>

> [mm]"\Leftarrow"[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{1}{f(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> mit [mm]a\not=0[/mm]

>

> [mm]"\Rightarrow"[/mm]

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm] f(x) = a [mm]\gdw \bruch{1}{ \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ x_0} 1}{\limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm]

>

> Ich hoffe das stimmt so?


Nicht ganz. In der zweiten Zeile (der sog. 'Hinrichtung') nimmst du die Äquivalenz vorweg (die du ja erst beweisen möchtest). Also dort einfach einen Implikationspfeil antatt der Äquivalenz setzen und beide Richtungen stehen korrekt da.

> Somit ist die Aussage doch
> Äquivalent.

>

> Wird wohl ein Druckfehler sein.

Entweder das, oder man braucht im Zusammenhang mit einem anderen Beweis nur die eine Richtung.

Um welches Buch handelt es sich?


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 So 03.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann mir bitte jemand erklären, warum hier nur die
> Implikation gilt und nicht die Äquivalenz?

ich möchte es anders formulieren: Man benötigt nur die Implikation um Äquivalenz sofort trivial zu erhalten!

Du hast also gegeben für [mm] $a\not= [/mm] 0$
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm]  = a   [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a} \quad(1)$ [/mm]

Und möchtest ebenso zeigen, dass auch gilt:

[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a} \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x) [/mm]  = a $

Dann fangen wir mal an:
Sei also [mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{f(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{a}$ [/mm] und setzen wir [mm] $\overline{f} [/mm] = [mm] \frac{1}{f}$ [/mm] und [mm] $\overline{a} [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$, [/mm] dann steht da oben nix anderes als
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\overline{f}(x) [/mm]  = [mm] \overline{a}$ [/mm] und daraus folgt aus (1), dass dann eben gilt: [mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{1}{\overline{f}(x)} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{\overline{a}}$ [/mm]

Einsetzen von [mm] \overline{f} [/mm] und [mm] \overline{a} [/mm] liefert:

[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x)  =  a$

Also die Rückrichtung.

Gruß,
Gono


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