Grenzwert, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 28.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute...
hätte da eine frage zu einem folgenbeispiel,welches we folgt lautet:
Ich hab die folge [mm] a_n=\left( \bruch{1+2+3+...n}{n} \right)^{1/n}
[/mm]
ich soll den grenzwert berchenen und prüfen ob diese folge konvergiert ode nicht.
ich hab mir das so gedacht, wenn die folge beschränkt ist, also einen grenzwert besitzt und monton fallen oder steigend ist, dann folgt daruas die konvergenz??? richtig???
und beim berchnen des grnzwertes komm ich auf 1, nämlich indem ich krieg [mm] a_n=\left( \bruch{n+1}{2} \right)^{1/n}
[/mm]
und das ist ja nicht anderes als [mm] \wurzel{1/2}*\wurzel{n+1}
[/mm]
was für n--> [mm] \infty [/mm] beides gegn 1 geht, also grenzwert 1.
aber wie zeig ich dass sie monoton ist....???
oder hab ich da irgendwo einen falschen ansatzt gemacht???
kann mir da jemand behilflich sein.
danke im voraus
mfg koko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 28.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> hallo leute...
>
> hätte da eine frage zu einem folgenbeispiel,welches we
> folgt lautet:
>
> Ich hab die folge [mm]a_n=\left( \bruch{1+2+3+...n}{n} \right)^{1/n}[/mm]
>
> ich soll den grenzwert berchenen und prüfen ob diese folge
> konvergiert ode nicht.
Wenn ein Grenzwert exisitiert, dann konvergiert sie doch.
>
> ich hab mir das so gedacht, wenn die folge beschränkt ist,
> also einen grenzwert besitzt und monton fallen oder
> steigend ist, dann folgt daruas die konvergenz???
> richtig???
Es heißt doch: Falls nach oben beschränkt und monoton steigend, dann ist die Folge konvergert.
Und "Wenn nach unten beschränkt und monoton fallend, dann ist die Folge konvergent".
Also ist deine Variante in etwa richtig.
>
>
> und beim berchnen des grnzwertes komm ich auf 1, nämlich
> indem ich krieg [mm]a_n=\left( \bruch{n+1}{2} \right)^{1/n}[/mm]
Ja. Du hast die Summenformel eingesetzt und dann das n gekürzt.
>
> und das ist ja nicht anderes als [mm]\wurzel{1/2}*\wurzel{n+1}[/mm]
Nein. Das stimmt nicht. Das ist gleich [mm] $\sqrt[n]{1/2}*sqrt[n]{n+1}$
[/mm]
Erst jetzt kannst du den Limesübergang machen.
>
> was für n--> [mm]\infty[/mm] beides gegn 1 geht, also grenzwert 1.
Richtig.
>
> aber wie zeig ich dass sie monoton ist....???
Das brauchst du m.E. nicht mehr, weil der Grenzwert ja offensichtilch exisitiert, also ist deine Folge konvergent.
Monotonie zeigt man aber so: Wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] zwei Folgenglieder sind, und die Folge ist monoton steigend, dann weist du, dass [mm] $a_{n+1}\ge a_{n}$ [/mm] Daraus kannst du folgern, dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1$ [/mm] sein muss.
Damit du aber die Beschränktheit zeigen kannst, musst du zeigen, dass deine Folge immer unter einem Wert bleibt, also wenn dus richtig machen willst mit [mm] \epsilon [/mm] etc....
Aber bei uns hats immer gereicht: Das Teil hat den Grenzewrt 1, also konvergiert es auch..
>
> oder hab ich da irgendwo einen falschen ansatzt gemacht???
Nein, der Ansatz war super.
>
> kann mir da jemand behilflich sein.
>
> danke im voraus
>
> mfg koko
>
LG
Kroni
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