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Grenzwert Kosinus und Sinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Do 09.04.2015
Autor: Mathe-Andi

Hallo,

es ist [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) [/mm] zu ermitteln, wobei [mm] f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t} [/mm] ist. Meine Lösung schaut wie folgt aus:

Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich [mm]-\infty
Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw. Argumentation?


Grüße, Andreas

        
Bezug
Grenzwert Kosinus und Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Do 09.04.2015
Autor: DieAcht

Hallo Mathe-Andi!


Deine Idee ist richtig, aber nicht sauber ausformuliert. Außerdem
benutzt du, ohne es zu merken, die Grenzwertsätze, obwohl die Vor-
aussetzung dafür nicht gegeben ist.

Ich denke, dass du sauber zeigen kannst, dass die Funktion beschränkt
ist. Damit hast du aber noch nicht gezeigt, dass sie divergiert.

Überlege nochmal selbst. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Kosinus und Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo,
>  
> es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist.

1.) Plotte Dir mal den (bzw. einen Ausschnitt des) Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm]

2.) Denke "über markante Punkte von Sinus und Kosinus" nach.

3.) Denke nun drüber nach, ob Du vielleicht "markante Punkte für [mm] $f\,$" [/mm]
    benennen kannst. Auch falls nicht, so fahre mit 4.) weiter.

4.) Setze mal [mm] $g(t):=2+\cos(2t)+\sin(2t)\,.$ [/mm]

5.) Wiederhole 1.) und 3.) auch für [mm] $g\,$; [/mm] dabei kann vielleicht auch [mm] $g\,'$ [/mm] helfen.

6.) Kreiere eine Folge von [mm] $x_k$ [/mm] mit [mm] $x_k \to \infty$ [/mm] so, dass [mm] $g\,$ [/mm]

    - an allen [mm] $x_{2k}$ [/mm] sein Maximum

    - an allen [mm] $x_{2k-1}$ [/mm] sein Minimum

annimmt.

7.) Benutze diese [mm] $x_k$ [/mm] dann zudem in [mm] $f\,.$ [/mm]

Kommentar: Ist Dir klar, dass [mm] $((-1)^n+\,1/n)_n$ [/mm] eine divergente Folge ist?

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Kosinus und Sinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Fr 10.04.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist. Meine Lösung schaut
> wie folgt aus:
>  
> Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie
> y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich
> [mm]-\infty
> sondern es gilt [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm]
>  
> Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw.
> Argumentation?

Nein, überhaupt nicht !

1. Du redest von einem nicht ex. Grenzwert und schreibst dennoch  [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm] !

Also was jetzt? Ex. der Grenzwert oder ex. er nicht ?

2. Was ist denn ein "absoluter Grenzwert" ?

3. Mit Deiner "Argumentation" hätte jede Funktion der Bauart

    $ [mm] f(t)=2+g(t)+h(t)+2t\cdot{}e^{-3t} [/mm] $,

keinen GW für $t [mm] \to \infty$, [/mm] wenn nur |g|,|h| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IR [/mm] gilt.

Das ist natürlich Quark !

4. Wenn $ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) [/mm] $ existieren würde, so würde auch

   [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{2}) [/mm]

existieren. Das ist aber nicht der Fall. Warum ?

FRED

>  
>
> Grüße, Andreas


Bezug
                
Bezug
Grenzwert Kosinus und Sinus: Folge bei 4. anders...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Fr 10.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > es ist [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] zu ermitteln, wobei
> > [mm]f(t)=2+cos(2t)+sin(2t)+2t*e^{-3t}[/mm] ist. Meine Lösung schaut
> > wie folgt aus:
>  >  
> > Aufgrund des definierten Wertebereiches für y=sin(t) sowie
> > y=cos(t) von [mm]-1 \le y \le 1[/mm] mit dem Definitionsbereich
> > [mm]-\infty
> > sondern es gilt [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm]
>  
> >  

> > Ist das eine mathematisch korrekte Lösung bzw.
> > Argumentation?
>  
> Nein, überhaupt nicht !
>  
> 1. Du redest von einem nicht ex. Grenzwert und schreibst
> dennoch  [mm]0\le \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) \le 4[/mm] !
>  
> Also was jetzt? Ex. der Grenzwert oder ex. er nicht ?
>  
> 2. Was ist denn ein "absoluter Grenzwert" ?
>  
> 3. Mit Deiner "Argumentation" hätte jede Funktion der
> Bauart
>  
> [mm]f(t)=2+g(t)+h(t)+2t\cdot{}e^{-3t} [/mm],
>  
> keinen GW für [mm]t \to \infty[/mm], wenn nur |g|,|h| [mm]\le[/mm] 1 auf [mm]\IR[/mm]
> gilt.
>  
> Das ist natürlich Quark !
>  
> 4. Wenn [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}f(t)[/mm] existieren würde,
> so würde auch
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>  
> existieren. Das ist aber nicht der Fall. Warum ?

nur der allgemeine Hinweis: Bei 4. wollte Fred sicher eine etwas andere
Folge hinschreiben; obige würde gegen $1$ konvergieren (wenn ich mich
nicht verrechnet habe).

Vermutung: Gemeint war

    [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f((2n+1)*\bruch{\pi}{\red{4}})$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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