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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert Reihe
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Grenzwert Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 13.03.2006
Autor: Sabbi2

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{1}{3^{k-1}} [/mm]

Ich würde das so berechnen:
( [mm] \bruch{1}{1 - 1/3} [/mm] ) - 1  = 1/2
Das ist jetzt für k=0, richtig? Was bedeutet das [mm] 3^{k-1}? [/mm]

2.
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-3^{k}}{4^{k}} [/mm]

Ich würde das so berechnen:
( [mm] \bruch{-3}{1 + 3/4} [/mm] )  = -12/7
Das ist aber, glaube ich, falsch.

Ich habe auch Probleme, wie man das k berücksichtigen soll. Müsste man nicht irgendwie z.B. k=2, dann immer 0, 1, 2 einsetzen und die Ergenbnisse subtrahieren, was dann den Grenzwert ergibt?
In mir bekannten Bsp-Aufgaben wird aber auf die Grenzen irgendwie gar nicht eingegangen??? Wie macht man das richtig?
Und wird  [mm] \bruch{3^k}{4^k} [/mm] anders behandelt als [mm] \bruch{3}{4^k} [/mm] ?



        
Bezug
Grenzwert Reihe: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mo 13.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

bei beiden Aufgaben kann man gut das Quotientenkriterium. Deine Rechnung verstehe ich nicht so ganz. Ich rechne dir mal die erste vor:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{3^{n-1}}{a_{n}}| [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{3}| [/mm]
[mm] =\bruch{1}{3} [/mm]

Die Reihe konvergiert, da q<1!

Bei der zweiten Reihe kannst du ähnlich vorgehen!


Bezug
                
Bezug
Grenzwert Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Mo 13.03.2006
Autor: Sabbi2

Zumindest bei der 1. Aufgabe, weiß ich aber, dass es so richtig war. Also es müsste eigentlich 1/2 rauskommen.
Das Quotientenkriterium wende ich jetzt an, wenn man die Konvergenz oder Divergenz prüfen soll. Wenn der Grenzwert einer Reihe gefragt ist, hab ich das immer mit  [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] versucht.
Und es ist auch k=2 gegeben, wie muss ich das berücksichtigen?

Und q ist ja der gegebene Ausdruck an sich?!

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mo 13.03.2006
Autor: Walde

Hi,
die Reihen, die du da hast sind geometrische Reihen.
Die allgemeine Form der geometrischen Reihe ist

[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm]  und die konvergiert für |q|<1

Der Grenzwert ist in diesem Fall [mm] a_0*\bruch{1}{1-q}. [/mm]

Bevor du einen Grenzwert ausrechnest, musst du die Reihe immer auf diese allgemeine Form bringen, dann q und [mm] a_0 [/mm] ablesen und dann in die Formel des Grenzwerts einsetzen.

Für deine erste heisst das:
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{1}{3^{k-1}} =\summe_{k=2}^{ \infty} (\bruch{1}{3}) ^{k-1}=\summe_{k=1}^{ \infty} (\bruch{1}{3})^{k}=-1+\underbrace{\summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{1}{3}) ^{k}}_{I}=-1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}=-1+\bruch{3}{2}=\bruch{1}{2} [/mm]

I  ab hier hat sie die allgemeine Form: [mm] q=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] a_0=1 [/mm]

Beachte, wie ich den Laufindex von k=2 auf k=0 transformiere, um auf die allgemeine Form der geom. Reihe zu kommen.

Bei der 2. läuft es genauso:

[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{-3^k}{4^k})=\summe_{k=0}^{ \infty} (-\bruch{3}{4})^{k}=usw... [/mm]

Hier ist eine Transformation der Laufvariable nicht erforderlich, weil sie schon von 0 ab läuft.

Alles klar ? ;-)

L G Walde.



Bezug
                                
Bezug
Grenzwert Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mo 13.03.2006
Autor: Sabbi2

Viiielen Dank Walde!

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