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Hallo, ich habe die Folge:
$ [mm] a_n :=\sqrt{n}*(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n}) [/mm] $ mit
$ [mm] \lim_{ n \rightarrow \infty } \sqrt{n}*(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt [/mm] {n}) = 0.5$
Jetzt möchte ich den Grenzwert (falls vorhanden) von
$ [mm] \lim_{ n \rightarrow \infty } (-1)^n*\sqrt{n}*(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n}) [/mm] $ berechnen.
Da kommt laut ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha aber was komplexes raus, nämlich: $ 0.5 [mm] e^{2i (0..\pi)} [/mm] $, wieso? Für alle $n$ ist die Folge doch reell.
Wenn ich nun die 2 Teilfolgen betrachte:
$ [mm] a_{2n} [/mm] := [mm] (-1)^{2*n}*\sqrt{2*n}*(\sqrt{2*n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{2*n}) [/mm] $
und
$ [mm] a_{2n-1} [/mm] := [mm] (-1)^{2*n-1}*\sqrt{2*n-1}*(\sqrt{2*n} [/mm] - [mm] \sqrt{2*n-1}) [/mm] $,
dann erhalte ich mit wolframalpha jeweils : $ 0.5 [mm] e^{2i (0..\pi)} [/mm] $
wobei $ [mm] a_{2n} [/mm] $ doch nichts anderes ist als die Folge $a$ und deshalb doch gegen $ 0.5 $ konvergieren muesste, und $ [mm] a_{2n-1} [/mm] $ dementsprechend gegen $ -0.5 $ ?
Grüße
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> Hallo, ich habe die Folge:
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> [mm]a_n :=\sqrt{n}*(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})[/mm] mit
> [mm]\lim_{ n \rightarrow \infty } \sqrt{n}*(\sqrt{n+1} - \sqrt {n}) = 0.5[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt möchte ich den Grenzwert (falls vorhanden) von
>
> [mm]\lim_{ n \rightarrow \infty } (-1)^n*\sqrt{n}*(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})[/mm]
> berechnen.
Wenn du den Faktor [mm] (-1)^n [/mm] weglässt, kommt ja wieder 0,5 heraus. Wenn n also sehr groß ist, liegst du nah bei 0,5.
Jetzt sorgt der Faktor [mm] (-1)^n [/mm] dafür, dass das Vorzeichen sich permanent ändert, so dass die Werte etwa zwischen 0,5 und -0,5 schwanken. "Im Unendlichen" hast du somit die Folge 0,5, -0,5, 0,5, -0,5 ... und damit keine Konvergenz.
der Faktor [mm] e^{...} [/mm] sorgt dafür, dass abwechselnd 1 und -1 entsteht. Er ist nur eine komplexe Schreibweise für [mm] (-1)^n.
[/mm]
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Betrachte zwei passende Teilfolgen [mm] $n_k$, [/mm] sodass du [mm] $(-1)^{n_k}$ [/mm] "kontrollieren" kannst :)
Mache dir also klar, wovon der Wert von [mm] $(-1)^n$ [/mm] abhängt.
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das habe ich ja oben versucht.
die Teilfolge $ [mm] a_{2n} [/mm] $ mit nur geraden n's und [mm] $a_{2n-1}$ [/mm] mit ungeraden n's, aber da kommt wieder was komplexes raus. Oder meinst du andere Teilfolgen?
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Was genau ist denn [mm] $(-1)^{2n}$?
[/mm]
Wenn du dir das klar machst, kommst du auf ein bereits von dir gelöstes Problem. Wolframalpha macht wahrscheinlich Probleme, da die Folge nicht konvergiert (Warum?)
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naja $ [mm] (-1)^{2n} [/mm] = [mm] 1^n [/mm] = 1$
somit kriege ich doch $ [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \sqrt{2n}\cdot{}(\sqrt{2n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{2n}) [/mm] $
und da Folge $ [mm] a_n [/mm] = [mm] \sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n})$ [/mm] gegen 0.5 konvergiert muss doch $ [mm] a_{2n} [/mm] $ auch gegen 0.5 konvergieren.
und für $ [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] = -1 $ gilt doch analog dass dann [mm] $a_{2n-1}$ [/mm] gegen -0.5 konvergieren muss.
Oder was mache ich falsch. Maple und wolframalpha sagen nämlich, dass die Teilfolgen jeweils gegen dieses komplexe Ding konvergieren..
Grüße
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Wenn du deine letzte Antwort mit der von Fred vergleichst, siehst du, dass alles in Ordnung ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 14.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs ganz deutlich (ohne Wolfgang Beta):
Sei $ [mm] a_n :=\sqrt{n}\cdot{}(\sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n}) [/mm] $. Wir wissen:
[mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Sei [mm] $b_n:=(-1)^n*a_n$.
[/mm]
Die Folge [mm] (b_{2n}) [/mm] ist nicht nur Teilfolge von [mm] (b_n), [/mm] sondern auch von [mm] (a_n), [/mm] denn, wegen [mm] (-1)^{2n}=1, [/mm] ist
[mm] (b_{2n})= (a_{2n}).
[/mm]
Somit konvergiert [mm] (b_{2n}) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Die Folge [mm] (b_{2n-1}) [/mm] ist nicht nur Teilfolge von [mm] (b_n), [/mm] sondern auch von $(- [mm] a_n)$, [/mm] denn, wegen [mm] (-1)^{2n-1}=-1, [/mm] ist
$ [mm] (b_{2n-1})= [/mm] (- [mm] a_{2n-1}).$
[/mm]
Somit konvergiert [mm] (b_{2n-1}) [/mm] gegen $- [mm] \bruch{1}{2}.$
[/mm]
[mm] (b_n) [/mm] ist also divergent.
FRED
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Ok danke, aber eine Frage noch:
Warum gibt mir Maple oder WolframAlpha nicht den richtigen Grenzwert der Teilfolge $ [mm] a_{2n} [/mm] $ bzw $ [mm] a_{2n-1} [/mm] $
siehe: Link-Text
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 14.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
die komplexe Zahl [mm] e^{2*\pi)*n}=1 [/mm] die komplexe Zahl [mm] e^{(2n+1)*\pi}=-1
[/mm]
eigentlich stand das schon in einem früheren post!
Gruß leduart
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