Grenzwert bei Polynomdivision < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Sa 24.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Seien P,Q: [mm] \IR \to \IR [/mm] polynomiale Funktionen
P(x) = [mm] a_{p}x^{p}+...+a_{0}
[/mm]
Zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{P(n)}{Q(n)}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls pq und ab>0 } \\ -\infty, & \mbox{für p
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Hi,
hier mein Ansatz:
Fall1 p<q
nach umformungen und kürzen (was ich wegen p<q machen darf) habe ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{P(n)}{Q(n)}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{p}}{b_{q}n^{q-p}+ ... +b_{0}} [/mm] + ... + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{b_{q}n^{q}+ ... +b_{0}}=0+ [/mm] ... +0=0
Fall2 p>q ; ab>0
Ich hab leider keine Idee. Würde einfach nur sagen, dass man mit Polynomdivision ja ein Polynom von Grad (p-q) bekommt welches [mm] mit\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ja gegen unendlich geht.
genauso bei Fall3
LG
SpoOny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien P,Q: [mm]\IR \to \IR[/mm] polynomiale Funktionen
> P(x) = [mm]a_{p}x^{p}+...+a_{0}[/mm]
>
> Zeige:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{P(n)}{Q(n)}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls pq und ab>0 } \\ -\infty, & \mbox{für p
>
>
> Hi,
>
> hier mein Ansatz:
>
>
> Fall1 p<q
>
> nach umformungen und kürzen (was ich wegen p<q machen
> darf) habe ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{P(n)}{Q(n)}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{p}}{b_{q}n^{q-p}+ ... +b_{0}}[/mm]
> + ... + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{b_{q}n^{q}+ ... +b_{0}}=0+[/mm]
> ... +0=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fall2 p>q ; ab>0
>
> Ich hab leider keine Idee. Würde einfach nur sagen, dass
> man mit Polynomdivision ja ein Polynom von Grad (p-q)
> bekommt welches [mm]mit\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ja gegen
> unendlich geht
Richtige Idee, aber du musst es genauer formulieren: was kommt bei der Polynomdivision heraus, und was machen die einzelnen Terme für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]? (Tipp: Ergebnis von Fall 1 verwenden.)
> genauso bei Fall3
Ja, aber warum kommt bei Fall 2 [mm]+\infty[/mm] und bei Fall 3 [mm]-\infty[/mm] heraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 24.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
> kommt bei der Polynomdivision heraus, und was machen die
> einzelnen Terme für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]? (Tipp: Ergebnis von
> Fall 1 verwenden.)
also ich hab mal versucht die Polynomdivision allg. aufzuschreiben und habe dann ja
[mm] (a_{p}x^{p}+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{0}):(b_{q}x^{q}+b_{q-1}x^{q-1}+...+b_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{a_{p}}{b_{q}}x^{p-q}+......
[/mm]
> Ja, aber warum kommt bei Fall 2 [mm]+\infty[/mm] und bei Fall 3
> [mm]-\infty[/mm] heraus?
beim dritten Fall [mm] -|\bruch{a_{p}}{b_{q}}|x^{p-q} [/mm] - ......
aber ich kann das gesamte Polynom ja nicht ausrechnen und hinschreiben, oder?
Wie kann ich den ersten Fall mitbenutzen. Jetzt kann ich ja nicht mehr so umformen wegen p>q ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 25.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
Hey,
kann ich so argumentieren?
[mm](a_{p}x^{p}+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{0}):(b_{q}x^{q}+b_{q-1}x^{q-1}+...+b_{0})[/mm]= [mm]\bruch{a_{p}}{b_{q}}x^{p-q}+\bruch{a_{p-1}b_{q}-a_{p}b_{q-1}}{b_{q}^{2}}x^{p-q-1} +......[/mm]
da der erste Summand schon gegen unendlich geht geht die Summe auch gegen unendlich ?? Aber Summen (Reihen) können ja auch einen Grenzwert haben ?? Kann ich die Division irgendwie als Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{n} [/mm] aufschreiben und sagen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty [/mm] Also ist die Reihe divergent oder sowas ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 So 25.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
ich versuch einfach mal so zu argumentieren, da leider niemand einen Vorschlag macht ): hoffe es nützt was
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> kann ich so argumentieren?
>
>
> [mm](a_{p}x^{p}+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{0}):(b_{q}x^{q}+b_{q-1}x^{q-1}+...+b_{0})[/mm]=
> [mm]\bruch{a_{p}}{b_{q}}x^{p-q}+\bruch{a_{p-1}b_{q}-a_{p}b_{q-1}}{b_{q}^{2}}x^{p-q-1} +......[/mm]
>
> da der erste Summand schon gegen unendlich geht geht die
> Summe auch gegen unendlich ??
Nur dann, wenn der Rest endlich bleibt.
> Aber Summen (Reihen) können
> ja auch einen Grenzwert haben ?? Kann ich die Division
> irgendwie als Reihe [mm]\summe_{i=0}^{n}a_{n}[/mm] aufschreiben und
> sagen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty[/mm] Also ist
> die Reihe divergent oder sowas ??
Du hast endliche Summen, keine Reihen. Das hat nix miteinander zu tun.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du kannst doch ganz allgemein sagen: wenn [mm]p\ge q[/mm], dann lässt sich der Quotient darstellen als
[mm]\bruch{P(n)}{Q(n)} = S(n) + \bruch{R(n)}{Q(n)} [/mm],
wobei S den Grad [mm]p-q[/mm] hat, und R einen kleineren Grad als Q.
Für den zweiten Summanden kannst du das Ergebnis aus dem ersten Teil benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 25.11.2007 | | Autor: | side |
Das hab ich verstanden, aber was muss ich noch weiter machen, damit ich die Unterscheidung
[mm] a_p*b_q [/mm] > 0
[mm] a_p*b_q [/mm] < 0
mit einbeziehen kann? dafür würde sich ja der Grenzwert [mm] -\infty [/mm] oder [mm] +\infty [/mm] ergeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das hab ich verstanden, aber was muss ich noch weiter
> machen, damit ich die Unterscheidung
> [mm]a_p*b_q[/mm] > 0
> [mm]a_p*b_q[/mm] < 0
> mit einbeziehen kann? dafür würde sich ja der Grenzwert
> [mm]-\infty[/mm] oder [mm]+\infty[/mm] ergeben?
Du hast schon richtig erkannt, dass der erste Term (mit der höchsten Potenz von x)
[mm]\bruch{a_p}{b_q} x^{p-q} [/mm].
Dieser Term hat das beschriebene Verhalten: er geht geht [mm]\pm\infty[/mm], je nach Vorzeichen von [mm]\bruch{a_p}{b_q}[/mm].
Warum ändern die restlichen Terme nichts daran? Tipp: Ausklammern.
Viele Grüße
Rainer
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