Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Habe ein kleines Problem mit einer Grenzwertbestimmung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wie ich den berechnen könnte? (Das es 0 geben sollte weiss ich bereits, aber wie ich darauf kommen könnte, ist mir ein Rätsel)
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es ist doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!})
[/mm]
Alle drei Faktoren stellen konvergente Folgen dar, also benutze Grenzwertsätze.
Gruß Sax.
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Ah dann kann ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)!})=\bruch{1}{2}*e*0=0
[/mm]
Besten Dank!
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Hallo Babybel!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)!})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)!})=\bruch{1}{2}*e*0=0[/mm]
Das sieht prinzipiell sehr gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber wie lautet denn die ursprüngliche Aufgabenstellung?
Ich habe den Verdacht, hier wurde das Quotientenkritierium einer Reihe bemüht oder der entsprechende Konvergenzradius berechnet.
Dann würde nämlich mit großer Wahrscheinlichkeit gar keine Fakultät mehr auftreten (nach Zusammenfassen und Kürzen).
Oder war hier wirklich direkt der Grenzwert des o.g. Terms / Folge gefragt?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner
Ja es geht tatsächlich um eine Reihe, nämlich: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^n}{(2n)!}
[/mm]
Habe auch gerade bemerkt, dass es nach dem Quot.krit. keine Fakultät mehr hat...
Aber dennoch muss ich ja den Grenzwert:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{1}{(2n+2)})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2n+2)})=\bruch{1}{2}*e*0=0[/mm]
berechnen. Und da dieser kleiner als 1 ist, folgt, dass die Reihe konvergiert.
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Hallo Babybel!
> Aber dennoch muss ich ja den Grenzwert: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^n}{2n^n(2n+2)}[/mm]
Das Ergebnis am Ende ist korrekt. Aber irgendwo im Quotientenkriterium hast Du Dich vertan.
Es muss nämlich lauten:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^n}{2*n^n*(2n+\red{1})} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Gratuliere zu deinem detektivischen Spürsinn !
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Roadrunner
Ach ja...hab den Fehler gefunden.... :/
Vielen Dank!
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