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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Grenzwert berechnen
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Grenzwert berechnen: Tipp Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 So 06.11.2016
Autor: Franhu

Aufgabe
Untersuche ob [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] konvergent ist und gib allenfalls den Grenzwert an:

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}} [/mm]

Hallo Zusammen

Ich komme nicht mehr weiter. Ich forme an zuerst um. Soweit bin ich bis jetzt:

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}} [/mm] | erweitern, wie sagt man diesem erweitern?

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\wurzel{n + \wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n - \wurzel{n}}) [/mm] *  [mm] \bruch{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}} [/mm]

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2*\wurzel{n}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}} [/mm]

Jetzt würde ich gerne im Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern, dazu brauche ich eure Hilfe?

Besten Dank und Lg

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 So 06.11.2016
Autor: DieAcht

Hallo Franhu!


> Untersuche ob [mm]a_{n}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] konvergent ist und gib
> allenfalls den Grenzwert an:
>  
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}}[/mm]
>  
> Hallo Zusammen
>  
> Ich komme nicht mehr weiter. Ich forme an zuerst um. Soweit
> bin ich bis jetzt:
>  
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}}[/mm] |
> erweitern, wie sagt man diesem erweitern?

Wir multiplizieren mit dem neutralen Element der Multiplikation.

> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](\wurzel{n + \wurzel{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n - \wurzel{n}})[/mm]
> *  [mm]\bruch{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}[/mm]
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2*\wurzel{n}}{\wurzel{n + \wurzel{n}} + \wurzel{n - \wurzel{n}}}[/mm]
>  
> Jetzt würde ich gerne im Nenner [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern,

Wir erinnern uns an

      [mm] $n=\sqrt{n}*\sqrt{n}$. [/mm]

und erhalten

      [mm] $\sqrt{n+\sqrt{n}}=\sqrt{n\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\sqrt{n}*\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$, [/mm]

sowie

      [mm] $\sqrt{n-\sqrt{n}}=\sqrt{n}*\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}$. [/mm]

Nun solltest du weiterkommen...


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Mi 09.11.2016
Autor: Franhu

Hallo DieAcht

Super, das hilft mir weiter!

Grüsse Franhu

Bezug
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