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Grenzwert berechnen: Mit Hilfe von e
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 So 10.06.2018
Autor: Pacapear

Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe des Grenzwertes [mm] $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x [/mm] = [mm] e^a$ [/mm] folgenden Grenzwert:

[mm] $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x$ [/mm]

Hallo zusammen!

Mir fehlt eine Ansatzidee, um den Grenzwert [mm] $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x$ [/mm] zu berechnen.

Ich habe es z.B. schon über erweitern zu binomischen Formeln, ausklammern oder Bruch auseinander ziehen versucht. Aber keiner dieser Ansätze brachte mich irgendwie weiter.

Hat jemand eine Idee?

Danke und VG,
Nadine

        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 So 10.06.2018
Autor: Marc

Hallo Nadine,

> Hat jemand eine Idee?

Es müsste dich [mm] $\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}=...$ [/mm] weiter bringen...

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 10.06.2018
Autor: Pacapear

Hallo Marc!

> Es müsste dich [mm]\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-2+4}{x-2}=...[/mm]
> weiter bringen...

Mit deinem Ansatz bin ich jetzt so weit gekommen:

$ [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^x [/mm] $

$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2+4}{x-2} \right)^x [/mm] $

$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2}{x-2} + \frac{4}{x-2} \right)^x [/mm] $

$ = [mm] \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x-2} \right)^x [/mm] $

Jetzt hänge ich daran, noch die "-2" im Nenner wegzukriegen, damit ich den Grenzwert der e-Funktion verwenden kann.

Gibt es da auch noch einen Trick?

Danke und VG,
Nadine

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 So 10.06.2018
Autor: angela.h.b.


Hallo,

> [mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x-2} \right)^x[/mm]

Du könntest es so machen:

=[mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{x+2}[/mm]

LG Angela



Bezug
                                
Bezug
Grenzwert berechnen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 So 10.06.2018
Autor: Pacapear


> Du könntest es so machen:
>  
> =[mm]= \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{x+2}[/mm]
>  
> LG Angela

Oh wow!  

Ja, damit bekomme ich [mm] e^4 [/mm] als Erbenis.

Vielen Dank!

VG Nadine

Bezug
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