Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mi 22.11.2006 | | Autor: | hammhe |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte
a) [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n^3} \summe_{k=1}^{N}k(k+1)
[/mm]
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hallo,
ich hab leider überhaupt keinen plan wie ich hier vorgehen soll.
hoffe ihr könnt mir helfen.
danke
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Kuper |
beim a) kannst du Majoranten Kriterium anwenden oder du machst Partialbruchzerlegung d.h
[mm] \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}
[/mm]
dann setze für k Werte ein:
[mm] k_{1}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] k_{2} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3})
[/mm]
usw.
=> $ [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{N} \bruch{1}{k(k+1)}$=1-\bruch{1}{k+1}
[/mm]
jetzt kannst du dein Grenzwert ausrechnen und du wirst feststellen dass es gegen 1 konvergiert
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