Grenzwert berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 22.01.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo zusammen,
ich versuche zurzeit folgenden Limes zu berechnen, komme aber leider nicht weiter:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{x}{2}(1- \wurzel{1- \bruch{4}{logx}}) }{\bruch{x}{logx}} [/mm] (*)
Ich hab bisher folgendes gemacht:
(*) = [mm] \bruch{ \bruch{x}{2} (1 - \wurzel{1- \bruch{4}{logx}}) logx}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1- [mm] \wurzel{1- \bruch{4}{logx}}) [/mm] logx
Nun komme ich leider nicht mehr weiter. Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Angeblich soll 1 rauskommen als Grenzwert.
Danke schonmal.
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Hallo Murx,
> Hallo zusammen,
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> ich versuche zurzeit folgenden Limes zu berechnen, komme
> aber leider nicht weiter:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{x}{2}(1- \wurzel{1- \bruch{4}{logx}}) }{\bruch{x}{logx}}[/mm]
> (*)
>
> Ich hab bisher folgendes gemacht:
>
> (*) = [mm]\bruch{ \bruch{x}{2} (1 - \wurzel{1- \bruch{4}{logx}}) logx}{x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (1- [mm]\wurzel{1- \bruch{4}{logx}})[/mm] logx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun komme ich leider nicht mehr weiter. Kann mir hier
> vielleicht jemand weiterhelfen? Angeblich soll 1 rauskommen
> als Grenzwert.
Schreibe deinen letzen Ausdruck ein wenig um zu
[mm] $\bruch{\ln(x)}{2}\cdot{}\left(1-\wurzel{1- \bruch{4}{\ln(x)}}\right)=\frac{1-\wurzel{1- \bruch{4}{\ln(x)}}}{\frac{2}{\ln(x)}}$
[/mm]
Das strebt nun bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also kannst du mal die Regel von de l'Hôpital anwenden ...
> Danke schonmal.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 22.01.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
ok, soweit so gut. Jetzt hab ich zähler und nenner abgeleitet und folgendes raus:
Zähler: - [mm] \bruch{2}{x(logx)² \wurzel{1 - \bruch{4}{logx}}}
[/mm]
Nenner: - [mm] \bruch{2}{x(logx)²}
[/mm]
So, wenn ich jetzt x gegen [mm] \infty [/mm] betrachte, dann sehe ich das die Wurzel dann gegen 1 geht. Somit hab ich dann im Zähler und Nenner das gleiche stehen.
Folgt damit dann schon (durch Kürzen) die gewünschte 1?
Oder muss ich dann erneut L'Hopital anwenden, weil insgesamt Zähler und Nenner gegen 0 gehen?
Danke schonmal.
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> ok, soweit so gut. Jetzt hab ich zähler und nenner
> abgeleitet und folgendes raus:
ööhmmm, *nachrechne, ratter, ratter, knirsch*
>
> Zähler: - [mm]\bruch{2}{x(logx)² \wurzel{1 - \bruch{4}{logx}}}[/mm]
>
> Nenner: - [mm]\bruch{2}{x(logx)²}[/mm]
>
> So, wenn ich jetzt x gegen [mm]\infty[/mm] betrachte, dann sehe ich
> das die Wurzel dann gegen 1 geht. Somit hab ich dann im
> Zähler und Nenner das gleiche stehen.
> Folgt damit dann schon (durch Kürzen) die gewünschte 1?
Erst kürzen, dann den Grenzübergang
Es bleibt nach dem Verwurschteln nur [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{\ln(x)}}}$
[/mm]
Und das strebt gegen [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{\infty}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=1$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
>
> Oder muss ich dann erneut L'Hopital anwenden, weil
> insgesamt Zähler und Nenner gegen 0 gehen?
>
> Danke schonmal.
Jo, gerne
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 22.01.2009 | | Autor: | Murx |
Hey Danke dir.
Ich war grad so im "Grenzwert bilden"-Denken, dass ich gar nicht gesehen hab, dass man sofort kürzen kann.
Echt dumm. Passiert halt schonmal.
DANKE.
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