Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
| Aufgabe | [mm] a_1=\wurzel{a}
[/mm]
[mm] a_2=\wurzel{a*\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] a_3=\wurzel{a*\wurzel{a*\wurzel{a}}}
[/mm]
Wogegen strebt diese Folge?
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Juchu alle schlauen Mathemtiker :)
Ich hab leider echt Probleme mit dieser Aufgabe...
Kann es sein, dass ich zunächst erstmal ein allgemeines [mm] a_n [/mm] finden muss?
Mein "Gefühl" sagt mir der Wert ist [mm] \infty...
[/mm]
Fragt mich nich wieso :)
Danke schön schon mal an alle, über n kleinen Tipp würd ich mich freuen!
VG S4r4
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_1=\wurzel{a}[/mm]
Hallo,
also gilt [mm] a_1=a^{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
> [mm]a_2=\wurzel{a*\wurzel{a}}[/mm]
also [mm]a_2=\wurzel{a^1*a^{\bruch{1}{2}}[/mm][mm] =(a^{\bruch{3}{2}})^{\bruch{1}{2}}=a^{0,75}
[/mm]
> [mm]a_3=\wurzel{a*\wurzel{a*\wurzel{a}}}[/mm]
Jetzt du!
Gruß Abakus
>
> Wogegen strebt diese Folge?
>
> Juchu alle schlauen Mathemtiker :)
>
> Ich hab leider echt Probleme mit dieser Aufgabe...
> Kann es sein, dass ich zunächst erstmal ein allgemeines
> [mm]a_n[/mm] finden muss?
> Mein "Gefühl" sagt mir der Wert ist [mm]\infty...[/mm]
> Fragt mich nich wieso :)
>
> Danke schön schon mal an alle, über n kleinen Tipp würd
> ich mich freuen!
>
> VG S4r4
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
Sooo, danke schonmal für die schnelle Antwort!
Bei mir hats ein bissl gedauert bis der Groschen gefallen ist :)
wenn also
[mm] a_1=a^\bruch{1}{2} [/mm] und
[mm] a_2=a^\bruch{3}{4} [/mm] ist
dann sollte
[mm] a_3=\wurzel{a\wurzel{a\wurzel{a}}}=a^\bruch{5}{8} [/mm] sein, richitg??
Und damit dann [mm] a_n=a^\bruch{1+2*n}{2^n}
[/mm]
Ist das soweit korrekt??
VG
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Hallo S4r4,
> Sooo, danke schonmal für die schnelle Antwort!
>
> Bei mir hats ein bissl gedauert bis der Groschen gefallen
> ist :)
>
> wenn also
> [mm]a_1=a^\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]a_2=a^\bruch{3}{4}[/mm] ist
>
> dann sollte
> [mm]a_3=\wurzel{a\wurzel{a\wurzel{a}}}=a^\bruch{5}{8}[/mm] sein,
> richitg??
Nein, das ist [mm] $a^{\frac{\red{7}}{8}}$
[/mm]
>
> Und damit dann [mm]a_n=a^\bruch{1+2*n}{2^n}[/mm]
Ich plädiere für [mm] $a_n=a^{\frac{2^n-1}{2^n}}$
[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt??
>
> VG
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
ähem, wer brüche und ganze Zahlen korrekt addieren kann ist klar im vorteil :)
Danke für deine Korrektur und insgesamt für eure Mühen!
Dann mal weiter im Text:
[mm] a_n= a^\bruch{2^n-1}{2^n}
[/mm]
jetzt möchte ich ja den Grenzwert betimmen!
dafür würde ich den Exponenten abwandeln.
[mm] a_n=a^{\bruch{2^n}{2^n}-\bruch{1}{2^n}} [/mm] *kürz kürz*
[mm] a_n=a^{1-\bruch{1}{2^n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] strebt bei a [mm] \to \infty [/mm] gegen 0
Damit strebt [mm] a_n [/mm] dann insgesamt gegen a?!?!
Danke
vg S4r4
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Hallo nochmal,
> ähem, wer brüche und ganze Zahlen korrekt addieren kann
> ist klar im vorteil :)
gell?
>
> Danke für deine Korrektur und insgesamt für eure Mühen!
>
> Dann mal weiter im Text:
>
> [mm]a_n= a^\bruch{2^n-1}{2^n}[/mm]
>
> jetzt möchte ich ja den Grenzwert betimmen!
>
> dafür würde ich den Exponenten abwandeln.
> [mm]a_n=a^{\bruch{2^n}{2^n}-\bruch{1}{2^n}}[/mm] *kürz kürz*
> [mm]a_n=a^{1-\bruch{1}{2^n}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm] strebt bei a [mm]\to \infty[/mm] gegen 0
>
> Damit strebt [mm]a_n[/mm] dann insgesamt gegen a ?!?! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Si!
>
> Danke
> vg S4r4
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
Danke schön für all eure schnellen antworten!
Werd jetzt noch ein bissl addieren üben, dann läuft das schön! :)
VLG S4r4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
| Aufgabe | [mm] a_1=\wurzel{a}
[/mm]
[mm] a_2=\wurzel{a+\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] a_3=\wurzel{a+\wurzel{a+\wurzel{a}}}
[/mm]
...
[mm] a_n [/mm] ist für a>0 konvergent.
Bestimmen Sie den Grenzwert! |
Juchu mal wieder :)
Jetzt habe ich ne Aufgabe, die ähnlich ist, wie meine alte, jedoch anstatt mit mal ist es nun plus.
Das ändert natürlich alles...
Zusammenfassen geht beim addieren von unterschiedlichen Exponenten bei gleicher basis nicht so gut :)
Habs mit ausklammern versucht, war (zumindest bei mir) aber ne Sackgasse...
Wer mal wieder n Tipp?
Vielen Dank schonmal!
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_1=\wurzel{a}[/mm]
> [mm]a_2=\wurzel{a+\wurzel{a}}[/mm]
> [mm]a_3=\wurzel{a+\wurzel{a+\wurzel{a}}}[/mm]
> ...
> [mm]a_n[/mm] ist für a>0 konvergent.
> Bestimmen Sie den Grenzwert!
Hallo,
klingt richtig knifflig. Aber mir fällt auf:
[mm] a_2=\wurzel{a+a_1}
[/mm]
[mm] a_3=\wurzel{a+a_2}
[/mm]
usw.
Allgemein:
[mm] a_{n+1}=\wurzel{a+a_n}
[/mm]
Laut Aufgabe konvergiert [mm] a_n, [/mm] also sind für sehr große n die Folgenglieder [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] praktisch nicht mehr unterscheidbar, weil sie ganz nahe am gleichen Grenzwert g liegen. Man könnte also in die letztgenannte Gleichung für [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] jeweils g einsetzen und die Gleichung [mm] g=\wurzel{a+g} [/mm] nach g auflösen.
Gruß Abakus
> Juchu mal wieder :)
>
> Jetzt habe ich ne Aufgabe, die ähnlich ist, wie meine
> alte, jedoch anstatt mit mal ist es nun plus.
>
> Das ändert natürlich alles...
> Zusammenfassen geht beim addieren von unterschiedlichen
> Exponenten bei gleicher basis nicht so gut :)
>
> Habs mit ausklammern versucht, war (zumindest bei mir) aber
> ne Sackgasse...
>
> Wer mal wieder n Tipp?
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 19.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
mhhh, okay, danke schon mal für die antwort!
Werd´s mal mit deinem Tipp probieren und dann meld ich mich wieder!
VG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Mo 20.07.2009 | | Autor: | S4r4 |
juchu,
habs mal mit dem Tipp versucht::
[mm] g=\wurzel{a+g}
[/mm]
[mm] g^2=a+g
[/mm]
[mm] g^2-g+\bruch{1}{4}=a+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] (g-\bruch{1}{2})^2=a+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] g-\bruch{1}{2}=\pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] g=\pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}+\bruch{1}{2}
[/mm]
aber was heißt das nun?
Strebt [mm] a_n\to \pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}+\bruch{1}{2} [/mm] ??
Darf da dann überhaupt ein [mm] \pm [/mm] sein?
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> juchu,
>
> habs mal mit dem Tipp versucht::
wobei ich hier dennoch dafür plädiere, die Konvergenz der Folge nicht einfach vorauszusetzen, sondern auch mal zu versuchen, sie nachzuweisen. Evtl. sollte man dann die Fälle $0 < a < [mm] 1,\,$ $a=1\,$ [/mm] und $a > [mm] 1\,$ [/mm] getrennt untersuchen und vll. kann man auch den Hauptsatz über monotone Folgen benutzen. Unabhängig von der Aufgabenformulierung/Stellung könnte man sich jedenfalls auch dazu Gedanken machen, und ich hoffe, dass meine Ideen da zielführend sind. Aber sicher bin ich mir da nicht, weil ich's halt noch nicht selbst nachgerechnet habe...
> [mm]g=\wurzel{a+g}[/mm]
Ich wollte mal kurz Abakus Gedankengang mathematisch präzisieren: Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergente Folge mit Grenzwert [mm] $g,\,$ [/mm] d.h. [mm] $a_n \to [/mm] g$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Dann konvergiert auch die Folge [mm] $\big(a_{n+1}\big)_n$ [/mm] gegen [mm] $g,\,$ [/mm] d.h. [mm] $a_{n+1} \to [/mm] g$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Damit folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{a+a_n},\,$$
[/mm]
und wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\sqrt{\lim_{n \to \infty} (a+a_n)}$$
[/mm]
und damit
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\sqrt{a+\lim_{n \to \infty} a_n},\,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$g=\sqrt{a+g}\,.$$
[/mm]
> [mm]g^2=a+g[/mm]
>
> [mm]g^2-g+\bruch{1}{4}=a+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm](g-\bruch{1}{2})^2=a+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]g-\bruch{1}{2}=\pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]g=\pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> aber was heißt das nun?
> Strebt [mm]a_n\to \pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}+\bruch{1}{2}[/mm] ??
Nein!
> Darf da dann überhaupt ein [mm]\pm[/mm] sein?
Nein!
Beachte: Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist [mm] $a_n \ge 0\,.$ [/mm] Damit muss auch, wenn [mm] $a_n \to [/mm] g$ gilt, auch $g [mm] \ge [/mm] 0$ sein. Oben hattest Du gefolgert (Du solltest Dir übrigens angewöhnen, [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bzw., wenn auch angebracht, sogar [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] zu benützen):
[mm] $$g=\sqrt{a+g}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \Big(g-\frac{1}{2}\Big)^2=a+\frac{1}{4}\,.$$
[/mm]
(Hierbei gilt wegen $g [mm] \ge [/mm] 0$ auch die Folgerung [mm] $\Leftarrow$, [/mm] wobei man beachten sollte, dass nach Voraussetzung insbesondere $a [mm] \ge [/mm] 0$ gilt. M.a.W.: Man könnte hier sogar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen.)
Wenn man nun mal $g [mm] \ge [/mm] 0$ außen vorläßt und nur $g [mm] \in \IR$ [/mm] betrachten würde, dann würde es so weitergehen, wie Du oben gerechnet hast:
[mm] $$\Rightarrow \ldots$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow (\star)\;\;\;g-\bruch{1}{2}=\pm \wurzel{a+\bruch{1}{4}}\,.$$
[/mm]
Wenn man nun aber beachtet, dass, wie oben gesehen, $g [mm] \ge [/mm] 0$ gelten muss, so erkennt man, dass - weil hier wegen $a > [mm] 0\,$ [/mm] somit [mm] $-\sqrt{a+\frac{1}{4}} [/mm] < [mm] -\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}$ [/mm] gilt - die rechte Seite in [mm] $(\star)$ [/mm] nicht negativ sein kann (andernfalls wäre ja $g < [mm] 0\,$). [/mm] Somit kann nur [mm] $g=\frac{1}{2}+\sqrt{a+\frac{1}{4}}$ [/mm] sein.
Gruß,
Marcel
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