Grenzwert berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hi
(i)
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4n^3 - 7 + \bruch {14}{n} } { ( 3n + 1 )^3 }
[/m]
Ich soll nun folgende (eigentliche oder uneigentliche) Grenzwerte berechnen.
OK, ich habe hier zwei Bücher AL1. Einmal von Hildebrandt und einmal von Otto Forster.
Schlag ich mal unter Grenzwert nach.
Aha (i) ist wohl eine Folge und n geht wohl von 1 bis unendlich und ist aus den natürlichen Zahlen.
Hmmmm... aber wies jetzt los geht find ich jetzt in 10 Minuten lesen nicht... ich muss leider schon weg. Mach dann später weiter. Wär nett, wenn mich wieder jeamand auf die richtige Fährte schicken würde . Bye :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ja ich hatte einen Fehler drin
... richtig ist
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4n^3 - 7 + \bruch {14}{n} } { ( 3n + 1 )^3 }
[/m]
falsch war
(i)
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4n^3 - 7 + \bruch {14}{2} } { ( 3n + 1 )^3 }
[/m]
Gut also keine Zaubertrick... ausklammern und kürzen.
Probier ich mal.
Ich weiss nicht wie ich hier kürzen soll. Vielleicht kann man den Zähler irgendwie binomisch zerlegen ?
Jedenfall sieht man dasd [m]4n^3[/m] viel schneller wächst als [m](3n + 1)^3[/m] das heist das konvergiert gegen +-unendlich.
Aber das gilt wohl noch nicht als Lösung ?
Und der Grenzwert. ist der dann +-unendlich ?
Hatte wieder nur kurz Zeit... mach dann heute Abend daran weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ich betrachte Teile des folgenden Ausdrucks:
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4n^3 - 7 + \bruch {14}{n} } { ( 3n + 1 )^3 }
[/m]
Zuerst der einfachste Teil
-7 bleibt immer -7
[m]\bruch {14}{n}[/m]
geht gegen 0 für n gegen Unendlich.
Des weiteren behaupte ich
[mm] 4n^3 [/mm] > ( 3n + 1 [mm] )^3
[/mm]
=> 4n > 3n + 1 für n gegen Unendlich.
Naja das ist ja klar. Ich kann ja mal noch durch n Teilen für alle n ungleich 0.
=> 4 > 3 +1/n wobei 1/n wegfällt
=> 4 > 3
Für den Fall das n = 0 stimmt das allerdings nicht. Was aber für den Grenzwert uniteressant sein düfte.
Also die Folge geht gegen +- Unendlich. Richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
bin mit deiner Lösung nicht so einverstanden. Wie marc schon erwähnt hat, solltest Du lieber [mm]n^3[/mm] ausklammern. Also:
Ausgang:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4n^3 - 7 + \bruch {14}{2} } { ( 3n + 1 )^3 }
[/m]
Ausklammern von [m]n^3[/m] im Zähler:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ n^3 *(4 - \bruch {7}{n^3} + \bruch {14}{2*n^3}) } { (n*(3 + \bruch {1}{n})^3 } [/m]
Nenner umformen:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ n^3 *(4 - \bruch {7}{n^3} + \bruch {14}{2*n^3}) } { n^3 (3 + \bruch {1}{n})^3 }
[/m]
Kürzen von [m]n^3[/m] liefert:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4 - \bruch {7}{n^3} + \bruch {14}{2*n^3} } { (3 + \bruch {1}{n})^3 } [/m]
läßt man dann [m]n \to \infty[/m] gehen, bekommt man folgendes:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4 - \bruch {7}{\infty} + \bruch {14}{\infty} } { (3 + \bruch {1}{\infty})^3 }
[/m]
nun kann man alle [m]\bruch {x}{\infty}[/m] mit 0 gleichsetzen und erhält:
> [m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ 4 - 0 + 0 } { (3 + 0)^3 }
[/m]
$= [mm] \bruch [/mm] {4}{27}$(korrigiert von marc)
Das müßte dann auch die richtige Lösung sein (meine Prüfung in Analysis ist erst 3 Monate her, deswegen bin ich mir relativ sicher! *gg)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen, letzte Aufgabe habe ich jetzt wieder voll geblickt ;)
Ich gebe mir wenigstens auch ganze Mühe das bisschen Wissen das ich habe möglichst einfliesen zu lassen, so das vielleicht ein Mehrwert entsteht :)
Aber stellt Euch vor ich hänge schon wieder.... ja und ich denke ich habe eine lange Nacht vor mir... bis morgen muss ich noch zwei Übungsblätter machen.. einmal Analysis und einmal Informatik.. das wird echt heftig.
Gegeben:
(ii)
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ | n^2 + (-1)^n n^3 |} { n^4 + n^2 - n + 1 }
[/m]
Muss ich da in zwei Fälle unterscheiden ? In n gerade bzw. ungerade ?
So könnte ich die Betragsstriche doch rauskriegen - oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebasitan
ja. das würde ich wohl auch so machen, wenn ich mit nur ein ganz wenig Wissen das ganze berechnen müsste. Mit ein Wenig Uebung (Wissen) erkennst du den Grenzwert aber sofort!
Im Nenner ist nämlich der grösste Exponent 4, im Zähler aber nur 3.
Da müsste doch einer Regel herzuleiten sein ...?! 
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ach so ja klar :) !
Dann kann ich einfach sagen die Folge geht gegen Null.
Is ja klar wenn im Nenner ein Exponent hoch 4 ist
und im Zähler nur bis hoch 3.
Hihi. Wie einfach. Hatte es wieder nicht gesehen :)
Und der Hinweis das das so ist müsste für die Lösung dann reichen ?
Denke schon :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
> Ach so ja klar :) !
> Dann kann ich einfach sagen die Folge geht gegen Null.
> Is ja klar wenn im Nenner ein Exponent hoch 4 ist
> und im Zähler nur bis hoch 3.
> Hihi. Wie einfach. Hatte es wieder nicht gesehen :)
>
Na siehst du! Das Wissen erweitert sich langsam
> Und der Hinweis das das so ist müsste für die Lösung dann
> reichen ?
Ich würde es doch nochmals explizit für gerade und für ungerade $n$ zeigen. Dann bleibt es wahrscheinlich auch besser in deinem Gedächtnis haften ... und du siehst dann auch in etwa, wie die Glieder, wieder mit allen $n$ (also geraden und ungeraden) gegen $0$ streben (alternierend)
> Denke schon :)
>
Bitte schön
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
schaut bitte mal ob ich das richtig gemacht habe :)
Gegeben:
(iii)
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ n^4 + 10n^2 - 1000 } { n^3 + \bruch{1}{n} - n^2}
[/m]
=>
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ n^3 ( n + \bruch{10}{n} - \bruch{1000}{n^3}) } { n^3 (n^3 + \bruch{1}{n^4} - \bruch{1}{n}) }
[/m]
=> (Anstelle von [m]\bruch{x\in \IN}{n^x}[/m] schreibe ich jetzt schon einfach 0)
[m]\limes_{n \to \infty} \bruch{ n} { 1} = \infty
[/m]
Richtig so ? :) Bin ganz stolz ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
du hast auch allen Grund, stolz zu sein. Nur solltest du die Flüchtigkeitsfehler vermeiden, die sich bei den Zwischenergebnissen eingeschlichen haben. Ich bin aber überzeugt, dass diese auf denem Lösungsblatt nicht stehen, sondern nur in den Zusammenhang mit dem Eintippen gebracht werden können! Denn: das Ergebnis selber ist wieder völlig korrekt! 
Findest du die Fehler?
Liebe Grüsse
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