Grenzwert berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Grenzwerte existieren? Falls sie existieren, welchen Wert haben sie?
a) [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-2x+1}{x^2+x-2} [/mm] |
So, wir sollen diese Aufgabe nicht einfach so bestimmen, sondern mit der Definition
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0)}f(x)=l
[/mm]
[mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0<|x-x_0|<\delta=>|f(x)-l|<\varepsilon
[/mm]
Mein Problem: Muss ich mir jetzt erst das l bzw. den Grenzwert denken und dann schon einsetzen, damit am Ende <e herauskommt?
Wie geht man hier genau vor?
Ich habe mir überlegt,dass man den Term auch wie folgt schreiben kann:
[mm] \bruch{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)} [/mm] und dann hat man nur noch [mm] \bruch{x-1}{x+2}
[/mm]
Kann mir jemand die Herangehensweise erklären? So, mit Hilfe meines Taschenrechners weiß ich, dass der Grenzwert 0 herauskommt. Kann man das so sehen?
Dann hab ich das in die Formel eingesetzt:
[mm] |f(x)-0|<\varepsilon [/mm] und dann habe ich es umgeformt zu:
[mm] \bruch{1}{|x+2|}|x-1|<\varepsilon. [/mm] Muss ich mir jetzt ein [mm] \delta [/mm] wählen und wenn ja, welches? Hab da echt Probleem mit.
Bitte verständlich erklären, weil ich echt ein Problem mit delta und epsilon habe, also wo und wann ich was einsetzen muss.
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo TheBozz-mismo,
> Welche Grenzwerte existieren? Falls sie existieren, welchen
> Wert haben sie?
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^2-2x+1}{x^2+x-2}[/mm]
> So, wir sollen diese Aufgabe nicht einfach so bestimmen,
> sondern mit der Definition
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(x_0)}f(x)=l[/mm]
>
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0<|x-x_0|<\delta=>|f(x)-l|<\varepsilon[/mm]
>
> Mein Problem: Muss ich mir jetzt erst das l bzw. den
> Grenzwert denken und dann schon einsetzen, damit am Ende <e
> herauskommt?
Das verstehe ich nicht ...
Die 1 hat doch nichts mit dem Wert des GW zu tun (so er den existiert)
> Wie geht man hier genau vor?
> Ich habe mir überlegt,dass man den Term auch wie folgt
> schreiben kann:
> [mm]\bruch{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}[/mm] und dann hat man nur noch
> [mm]\bruch{x-1}{x+2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau das hilft weiter. Hier kannst du zur Kontrolle sehen, dass der GW für [mm] $x\to [/mm] 1$ existiert und 0 ist ...
>
> Kann mir jemand die Herangehensweise erklären? So, mit
> Hilfe meines Taschenrechners weiß ich, dass der Grenzwert
> 0 herauskommt. Kann man das so sehen?
Ja klar, setze doch ein: [mm] $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+2}=\frac{0}{3}=0$
[/mm]
> Dann hab ich das in die Formel eingesetzt:
> [mm]|f(x)-0|<\varepsilon[/mm] und dann habe ich es umgeformt zu:
> [mm]\bruch{1}{|x+2|}|x-1|<\varepsilon.[/mm] Muss ich mir jetzt ein
> [mm]\delta[/mm] wählen und wenn ja, welches? Hab da echt Probleem
> mit.
> Bitte verständlich erklären, weil ich echt ein Problem
> mit delta und epsilon habe, also wo und wann ich was
> einsetzen muss.
Nun, da du den Limes für [mm] $x\to [/mm] 1$ betrachtest, kannst du $x$ "nahe" an 1 annehmen.
Dann ist $|x+2|$ sicher $>1$, also [mm] $\frac{1}{|x+2|}<1$
[/mm]
Damit dann [mm] $|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+2|}<|x-1|\cdot{}1=|x-1|$
[/mm]
Und das soll für ein geeignetes [mm] $\delta>0$ [/mm] kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein.
Welches triviale [mm] $\delta$ [/mm] kommt da wohl in Frage ...
> Vielen Dank
> Gruß
> TheBozz-mismo
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
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> Hallo TheBozz-mismo,
>
> Das verstehe ich nicht ...
>
> Die 1 hat doch nichts mit dem Wert des GW zu tun (so er den
> existiert)
Ich meinte nicht 1, sondern l, also der Grenzwert von der Funktion. Den brauche ich ja, um die Formel anzuwenden. Meine Frage ist, ob man den Grenzwert einsetzt und dann das mit der Definition beweisst?
> Ja klar, setze doch ein: [mm]\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+2}=\frac{0}{3}=0[/mm]
>
Darf man einfach so die Zahl einsetzen, ich meine, dann kann man ja direkt am Anfang einfach die Zahl einsetzen und bekommt 0
> Nun, da du den Limes für [mm]x\to 1[/mm] betrachtest, kannst du [mm]x[/mm]
> "nahe" an 1 annehmen.
>
> Dann ist [mm]|x+2|[/mm] sicher [mm]>1[/mm], also [mm]\frac{1}{|x+2|}<1[/mm]
>
> Damit dann [mm]|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+2|}<|x-1|\cdot{}1=|x-1|[/mm]
>
> Und das soll für ein geeignetes [mm]\delta>0[/mm] kleiner als
> [mm]\varepsilon[/mm] sein.
>
> Welches triviale [mm]\delta[/mm] kommt da wohl in Frage ...
>
Ok, deine Überlegung mit dem nahe an 1 kann ich nachvollziehen und auch deine Umformung.
Jetzt haben [mm] wir=|x-1|<\varepsilon.
[/mm]
Wir suchen jetzt ein [mm] \delta>0, [/mm] ich verstehe das nicht so ganz. Wir sollen doch für x jetzt etwas einsetzen, sodass nur noch [mm] \varepsilon [/mm] herauskommt...oder?
Wenn wir für [mm] \delta=1 [/mm] setzen, bekommen wir 0 und dann?
Kann mir wer helfen und genau erklären, wie man jetzt vorgeht.
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo nochmal,
> > Hallo TheBozz-mismo,
> >
> > Das verstehe ich nicht ...
> >
> > Die 1 hat doch nichts mit dem Wert des GW zu tun (so er den
> > existiert)
>
> Ich meinte nicht 1, sondern l, also der Grenzwert von der
> Funktion.
Ach, das ist visuell so blöd zu unterscheiden 1 und l, das habe ich dann falsch gesehen, sorry
> Den brauche ich ja, um die Formel anzuwenden.
Ja! Zunächst mal ist ja $f(1)$ überhaupt nicht definiert. Mit der Setzung $f(1):=0$ kannst du f stetig machen (stetig ergänzen) in $x=1$ und kannst die Definition der Stetigkeit anwenden ...
> Meine Frage ist, ob man den Grenzwert einsetzt und dann das
> mit der Definition beweisst?
Ja, du musst den GW kennen
>
>
> > Ja klar, setze doch ein: [mm]\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+2)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+2}=\frac{0}{3}=0[/mm]
>
> >
> Darf man einfach so die Zahl einsetzen, ich meine, dann
> kann man ja direkt am Anfang einfach die Zahl einsetzen und
> bekommt 0
Nein, man bekäme [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] was ein unbestimmter Ausdruck ist, das kann alles sein ...
>
> > Nun, da du den Limes für [mm]x\to 1[/mm] betrachtest, kannst du [mm]x[/mm]
> > "nahe" an 1 annehmen.
> >
> > Dann ist [mm]|x+2|[/mm] sicher [mm]>1[/mm], also [mm]\frac{1}{|x+2|}<1[/mm]
> >
> > Damit dann [mm]|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+2|}<|x-1|\cdot{}1=|x-1|[/mm]
> >
> > Und das soll für ein geeignetes [mm]\delta>0[/mm] kleiner als
> > [mm]\varepsilon[/mm] sein.
> >
> > Welches triviale [mm]\delta[/mm] kommt da wohl in Frage ...
> >
> Ok, deine Überlegung mit dem nahe an 1 kann ich
> nachvollziehen und auch deine Umformung.
> Jetzt haben [mm]wir=|x-1|<\varepsilon.[/mm]
> Wir suchen jetzt ein [mm]\delta>0,[/mm] ich verstehe das nicht so
> ganz. Wir sollen doch für x jetzt etwas einsetzen, sodass
> nur noch [mm]\varepsilon[/mm] herauskommt...oder?
Nein, wir müssen zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] angeben, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-1|<\delta$ [/mm] gefälligst gilt, dass [mm] $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ [/mm] ist
> Wenn wir für [mm]\delta=1[/mm] setzen, bekommen wir 0 und dann?
Wo bekommst du 0?
Wenn du [mm] $\delta=1$ [/mm] setzt, bekommst du für alle x mit [mm] $|x-1|<\delta$, [/mm] also $|x-1|<1$ am Ende nur heraus (mit den obigen Umformungen), dass $|f(x)-f(1)|<1$ ist ...
Was aber, wenn [mm] $\varepsilon$ [/mm] etwa [mm] $\frac{1}{10}$ [/mm] ist?
Dann ist nicht garantiert, dass [mm] $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ [/mm] ist.
>
> Kann mir wer helfen und genau erklären, wie man jetzt
> vorgeht.
Nun, das [mm] $\delta$ [/mm] darf ja von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] abhängen.
Wähle hier also zu bel. vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] das Delta als [mm] $\delta:=\varepsilon$
[/mm]
Das ist dann auch $>0$, und für alle $x$ mit [mm] $|x-1|<\delta$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)-f(1)|=...=|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+2|}<|x-1|<\delta=\varepsilon$
[/mm]
Schwupp!
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
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Hallo!
> Nein, wir müssen zu beliebig vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm]
> ein [mm]\delta>0[/mm] angeben, so dass für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1|<\delta[/mm]
> gefälligst gilt, dass [mm]|f(x)-f(1)|<\varepsilon[/mm] ist
Also wir haben den Term´so umgeformt, ich meine, wir haben ja mit f(x)-l in Betrag angefangen und haben dann x-1 in Betrag bekommen und dann muss man das laut Definition [mm] <\delta [/mm] setzen.
Macht man das immer so. Man hat f(x)-l und formt das so um, sodass wir x-xo herausbekommen?
>
> Wenn du [mm]\delta=1[/mm] setzt, bekommst du für alle x mit
> [mm]|x-1|<\delta[/mm], also [mm]|x-1|<1[/mm] am Ende nur heraus (mit den
> obigen Umformungen), dass [mm]|f(x)-f(1)|<1[/mm] ist ...
>
> Was aber, wenn [mm]\varepsilon[/mm] etwa [mm]\frac{1}{10}[/mm] ist?
>
> Dann ist nicht garantiert, dass [mm]|f(x)-f(1)|<\varepsilon[/mm]
> ist.
Aber f(1) ist doch gar nicht definiert. Ich verstehe nicht, wo man genau [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] einsetzt. In deinem Beispiel mit [mm] \delta=1 [/mm] setzt du doch [mm] \delta=\varepsilon [/mm] =1...oder?
Mann, irgendwie versteh ich das nicht...
> Nun, das [mm]\delta[/mm] darf ja von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]x_0[/mm] abhängen.
>
> Wähle hier also zu bel. vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm] das
> Delta als [mm]\delta:=\varepsilon[/mm]
>
> Das ist dann auch [mm]>0[/mm], und für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1|<\delta[/mm]
> gilt:
>
> [mm]|f(x)-f(1)|=...=|x-1|\cdot{}\frac{1}{|x+2|}<|x-1|<\delta=\varepsilon[/mm]
Muss ich mir nochmal angucken, irgendwie find ich das so schwierig, nachzuvollziehen bzw. mich da herein zu denken.
Eine Frage habe ich noch. In der Vorlesung hatten wir immer [mm] \delta=min [/mm] oder max(1 Wert, noch ein Wert in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon). [/mm] Ich dachte, dass muss man hier auch machen, ober haben wir das hier auch gemacht, nur ich sehe es nicht.
Gruß
TheBozz-mismo
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> > Nein, wir müssen zu beliebig vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm]
> > ein [mm]\delta>0[/mm] angeben, so dass für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1|<\delta[/mm]
> > gefälligst gilt, dass [mm]|f(x)-f(1)|<\varepsilon[/mm] ist
>
> Also wir haben den Term´so umgeformt, ich meine, wir haben
> ja mit f(x)-l in Betrag angefangen und haben dann x-1 in
> Betrag bekommen und dann muss man das laut Definition
> [mm]<\delta[/mm] setzen.
Hallo,
das setzt man nicht lt. Definition [mm] =\delta [/mm] oder < [mm] \delta.
[/mm]
Man hat zunächst ein beliebige [mm] s\varepsilon, [/mm] zu welchem man sich, wie auch immer, ein passendes [mm] \delta [/mm] sucht. In der regel hängt das von [mm] \varepsilon [/mm] und auch von der Stele [mm] x_0 [/mm] ab.
Nun betrachtet man überhaupt bloß die x, die von der zu untersuchenden Stelle (hier: [mm] x_0=1) [/mm] nicht weiter als [mm] \delta [/mm] entfernt sind, also die x mit [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
> Macht man das immer so. Man hat f(x)-l und formt das so um,
> sodass wir x-xo herausbekommen?
Ja, man versucht immer, das [mm] \delta, [/mm] und damit [mm] |x-x_0|, [/mm] ins Spiel zu bringen.
> > Wenn du [mm]\delta=1[/mm] setzt, bekommst du für alle x mit
> > [mm]|x-1|<\delta[/mm], also [mm]|x-1|<1[/mm] am Ende nur heraus (mit den
> > obigen Umformungen), dass [mm]|f(x)-f(1)|<1[/mm] ist ...
> >
> > Was aber, wenn [mm]\varepsilon[/mm] etwa [mm]\frac{1}{10}[/mm] ist?
> >
> > Dann ist nicht garantiert, dass [mm]|f(x)-f(1)|<\varepsilon[/mm]
> > ist.
>
> Aber f(1) ist doch gar nicht definiert.
Richtig. Korrekterweise hätte hier [mm] \ell [/mm] stehen müssen, also der GW an der Stelle 1.
> Ich verstehe nicht,
> wo man genau [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] einsetzt. In deinem
> Beispiel mit [mm]\delta=1[/mm] setzt du doch [mm]\delta=\varepsilon[/mm]
> =1...oder?
Nein, nicht =1 !
Man macht dies:
man nimmt ein beliebiges [mm] \varepsilon, [/mm] wählt (hier) dazu passend [mm] \delta:=min(1, \varepsilon)
[/mm]
(Diese Wahl kann man aber erst treffen, wenn man auf einem geheimen Schmierpapier ein bißchen was gerechnet hat.)
Nun rechnet man vor, daß für die x mit [mm] |x-1|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-0|<\varepsilon:
[/mm]
|f(x)-0|=|$ [mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm] $|= [mm] \bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{\delta}{|x+2|}
[/mm]
Weil ich bei der Wahl meines [mm] \delta [/mm] aufgepaßt habe, daß es nicht größer als 1 ist, habe ich -1<x-1<1, also 2<x+2<4, damit kann ich weiter abschätzen:
|f(x)-0|=|$ [mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm] $|= [mm] \bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{\delta}{|x+2|}<\delta \le\varepsilon
[/mm]
> Eine Frage habe ich noch. In der Vorlesung hatten wir immer
> [mm]\delta=min[/mm] oder max(1 Wert, noch ein Wert in Abhängigkeit
> von [mm]\varepsilon).[/mm] Ich dachte, dass muss man hier auch
> machen, ober haben wir das hier auch gemacht, nur ich sehe
> es nicht.
Ich hab das jetzt gemacht.
Schachuzipus hatte das berücksichtigt, in dem er irgendwas in Richtung "nehmen das [mm] \delta [/mm] klein genug" gesagt hatte.
Gruß v. Angela
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Hallo!
> Man macht dies:
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> man nimmt ein beliebiges [mm]\varepsilon,[/mm] wählt (hier) dazu
> passend [mm]\delta:=min(1, \varepsilon)[/mm]
> (Diese Wahl kann man
> aber erst treffen, wenn man auf einem geheimen
> Schmierpapier ein bißchen was gerechnet hat.)
> Nun rechnet man vor, daß für die x mit [mm]|x-1|<\delta[/mm] gilt
> [mm]|f(x)-0|<\varepsilon:[/mm]
>
> |f(x)-0|=|[mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm]|= [mm]\bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{\delta}{|x+2|}[/mm]
>
> Weil ich bei der Wahl meines [mm]\delta[/mm] aufgepaßt habe, daß
> es nicht größer als 1 ist, habe ich -1<x-1<1, also
> 2<x+2<4, damit kann ich weiter abschätzen:
>
> |f(x)-0|=|[mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm]|= [mm]\bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{ \delta }{|x+2|}<\delta \le\varepsilon[/mm]
>
So, kannst du mir erklären, wo du von [mm] \delta:=min(1, \varepsilon) [/mm] die 1, bzw. -1(wegen minimun) einsetzt in die Gleichung. Das verstehe ich noch nicht.
Bei deiner Gleichung verstehe ich nicht den Schritt, wo du [mm] \delta [/mm] einsetzt. Du setzt für x-1 in Betrag
[mm] \delta. [/mm] Könntest du mir das nochmal genau erklären, was du da genau einsetzt.
Oder hast du nur abgeschätzt, dass heißt, x-1 in Betrag ist kleiner [mm] \delta? [/mm] Und danach der Schritt, dass der Term kleiner [mm] \delta [/mm] ist hast du auch abgeschätzt?
Irgendwie will das nicht in mein Kopf rein...
Gruß
TheBozz-mismo
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> Hallo!
>
> > Man macht dies:
> >
> > man nimmt ein beliebiges [mm]\varepsilon,[/mm] wählt (hier) dazu
> > passend [mm]\delta:=min(1, \varepsilon)[/mm]
> > (Diese Wahl kann
> man
> > aber erst treffen, wenn man auf einem geheimen
> > Schmierpapier ein bißchen was gerechnet hat.)
> > Nun rechnet man vor, daß für die x mit [mm]|x-1|<\delta[/mm]
> gilt
> > [mm]|f(x)-0|<\varepsilon:[/mm]
> >
> > |f(x)-0|=|[mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm]|= [mm]\bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{\delta}{|x+2|}[/mm]
>
> >
> > Weil ich bei der Wahl meines [mm]\delta[/mm] aufgepaßt habe, daß
> > es nicht größer als 1 ist, habe ich -1<x-1<1, also
> > 2<x+2<4, damit kann ich weiter abschätzen:
> >
> > |f(x)-0|=|[mm] \bruch{x-1}{x+2} [/mm]|= [mm]\bruch{|x-1|}{|x+2|}< \bruch{ \delta }{|x+2|}<\delta \le\varepsilon[/mm]
>
> >
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> So, kannst du mir erklären, wo du von [mm]\delta:=min(1, \varepsilon)[/mm]
> die 1, bzw. -1(wegen minimun) einsetzt in die Gleichung.
> Das verstehe ich noch nicht.
Hallo,
bei solchen Ungleichungen ist man natürlich ständig am Abschätzen.
Ich tue dies zweimal:
1. verwende ich, daß [mm] |x-1|<\delta.
[/mm]
2. Ich möchte [mm] \bruch{1}{|x+2|} [/mm] abschätzen.
wegen [mm] |x-1|<\delta\le [/mm] 1 weiß ich -1<x-1<1 ==> 2<x+2<4 ==> [mm] 1/4<\bruch{1}{|x+2|} [/mm] <1/2<1.
Damit lande ich bei [mm] ...<\delta.
[/mm]
Und das [mm] \delta [/mm] habe ich so ausgesucht, daß es [mm] \le \varepsilon [/mm] ist.
Gruß v. Angela
>
> Bei deiner Gleichung verstehe ich nicht den Schritt, wo du
> [mm]\delta[/mm] einsetzt. Du setzt für x-1 in Betrag
> [mm]\delta.[/mm] Könntest du mir das nochmal genau erklären, was
> du da genau einsetzt.
> Oder hast du nur abgeschätzt, dass heißt, x-1 in Betrag
> ist kleiner [mm]\delta?[/mm] Und danach der Schritt, dass der Term
> kleiner [mm]\delta[/mm] ist hast du auch abgeschätzt?
> Irgendwie will das nicht in mein Kopf rein...
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Naja, ich muss mir das nochmal genau anschauen. Ich habe ein großes Problem mit Abschätzen allgemein und das ist ja sehr wichtig in Mathe, besonders bei Analysis. Hat einer eine Idee, wie man das besser mit dem Abschätzen hinbekommt bzw. wie man sich da hineinversetzen kann? Ich mein, irgendwie ist ja die Idee logisch, aber ich tu mir da echt schwer.
So,neue Aufgabe:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{\wurzel{x^2-2x+1}}{x^2+x-2} [/mm] $
So, jetzt hab ich schon das Problem, wie man den Grenzwert bestimmt, weil Polynomdivision geht ja nicht. Sollte man sich die Funktion erstmal skizzieren?
Vielen Dank für jede Hilfe?
TheBozz-mismo
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Hallo nochmal,
> Naja, ich muss mir das nochmal genau anschauen. Ich habe
> ein großes Problem mit Abschätzen allgemein und das ist
> ja sehr wichtig in Mathe, besonders bei Analysis. Hat einer
> eine Idee, wie man das besser mit dem Abschätzen
> hinbekommt bzw. wie man sich da hineinversetzen kann? Ich
> mein, irgendwie ist ja die Idee logisch, aber ich tu mir da
> echt schwer.
Das geht am Anfang wohl jedem so ...
Aber je mehr Abschätzungen du gesehen und v.a. selber gemacht hast, desto besser klappt das.
Nimm dir einfach einige Aufgaben vor und probiere es ...
Kann ja nix kaputt gehen 
>
> So,neue Aufgabe:
Für neue Aufgaben mache bitte das nächste Mal einen eigenständigen thread auf, sonst wird's gar zu unübersichtlich!
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{\wurzel{x^2-2x+1}}{x^2+x-2}[/mm]
>
> So, jetzt hab ich schon das Problem, wie man den Grenzwert
> bestimmt, weil Polynomdivision geht ja nicht. Sollte man
> sich die Funktion erstmal skizzieren?
Das ist sicher immer ne gute Idee.
Hier solltest du aber unbedingt erkennen, dass im Zäher ne binomische Formel steckt!
Gut ist auch, immer zu schauen, ob man faktorisieren kann.
Hier: [mm] $\frac{\sqrt{x^2-2x+1}}{x^2+x-2}=\frac{\sqrt{(x-1)^2}}{(x-1)\cdot{}(x+2)}=\frac{|x-1|}{(x-1)\cdot{}(x+2)}$
[/mm]
Um nun den GW für [mm] $x\to [/mm] 1$ zu berechnen (so er denn existiert), berechne den linksseitigen und den rechtsseitigen GW.
Existieren beide und stimmen überein, so hast du gewonnen.
Je nachdem von welcher Seite du dich der 1 näherst, löst sich der lästige Betrag im Zähler etwas anders in Wohlgefallen auf ...
>
> Vielen Dank für jede Hilfe?
Doch eher ein "!"
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
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> [mm]\frac{\sqrt{x^2-2x+1}}{x^2+x-2}=\frac{\sqrt{(x-1)^2}}{(x-1)\cdot{}(x+2)}=\frac{|x-1|}{(x-1)\cdot{}(x+2)}[/mm]
>
> Um nun den GW für [mm]x\to 1[/mm] zu berechnen (so er denn
> existiert), berechne den linksseitigen und den
> rechtsseitigen GW.
>
> Existieren beide und stimmen überein, so hast du
> gewonnen.
>
> Je nachdem von welcher Seite du dich der 1 näherst, löst
> sich der lästige Betrag im Zähler etwas anders in
> Wohlgefallen auf ...
Hallo zusammen!
ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe und habe folgendes gemacht:
[mm] \frac{|x-1|}{(x-1)\cdot{}(x+2)} [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{x+2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1} \frac{1}{x+2} [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow1} -\frac{1}{x+2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}
[/mm]
Also haben wir zwei verschiedene Grenzwerte (je nachdem, ob ich mich von links oder von rechts der Stelle 1 nähere), somit ist die Funktion nicht stetig für x [mm] \to [/mm] 1.
Ist das richtig?
PS: habe den Graphen der Funktion mal hochgeladen, er befindet sich im Anhang.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Gratwanderer,
> >
> [mm]\frac{\sqrt{x^2-2x+1}}{x^2+x-2}=\frac{\sqrt{(x-1)^2}}{(x-1)\cdot{}(x+2)}=\frac{|x-1|}{(x-1)\cdot{}(x+2)}[/mm]
> >
> > Um nun den GW für [mm]x\to 1[/mm] zu berechnen (so er denn
> > existiert), berechne den linksseitigen und den
> > rechtsseitigen GW.
> >
> > Existieren beide und stimmen überein, so hast du
> > gewonnen.
> >
> > Je nachdem von welcher Seite du dich der 1 näherst, löst
> > sich der lästige Betrag im Zähler etwas anders in
> > Wohlgefallen auf ...
>
> Hallo zusammen!
>
> ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe und habe folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\frac{|x-1|}{(x-1)\cdot{}(x+2)}[/mm] = [mm]\pm \frac{1}{x+2}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \frac{1}{x+2}[/mm] = [mm]\frac{1}{3}[/mm] und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} -\frac{1}{x+2}[/mm] = [mm]-\frac{1}{3}[/mm]
>
>
> Also haben wir zwei verschiedene Grenzwerte (je nachdem, ob
> ich mich von links oder von rechts der Stelle 1 nähere),
> somit ist die Funktion nicht stetig für x [mm]\to[/mm] 1.
>
> Ist das richtig?
Das ist genau so, wie du es beschrieben hast, richtig .
Grüße,
Stefan
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