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| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] und n,m [mm] \in \IN [/mm] . Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese gegebenenfalls:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] ( [mm] \frac{1}{x-1} (\frac{1}{x + 2} [/mm] - [mm] \frac{3}{4x +5}))
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow a} \frac{x^m - a^m }{x^n - a^n}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x} (\wurzel{1 + ax + bx^2} [/mm] - 1))
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} (log(x^4 [/mm] -1) -log [mm] (x^2 [/mm] - 1)) |
Hey,
bin erst mal bei der a) schon hängengeblieben:
Bei uns in der Übung hat man bei einer ähnlichen Aufgabe den Term vereinfacht mit Hilfe von Polynomdivision. Das erscheint mir hier aber nicht richtig, da wenn ich die Klammern auflösen ich im Nenner einen viel längeren Term mit Höheren Potenzen habe als im Zähler:
[mm] \frac{(x-1)^2}{4x^4 + 5x^3 -12x^2 -7x +10}, [/mm] sieht jemand wie man hier weiter vereinfachen kann?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Die Idee, die 3 Brüche zusammenzufassen, ist schon sehr gut. Allerdings solltest Du auf keinen Fall den Nenner ausmultiplizieren.
Denn in der faktorisierten Form kannst Du den Term $(x-1)_$ kürzen und dann die Grenzwertbetrachtung durchführen.
Gruß
Loddar
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Hi,
ok Danke erstmal!
Dann habe ich [mm] \frac{x-1}{(x+2)(4x+5)}. [/mm] Ich muss doch jetzt erstmal die x ausschließen die die Nullstellen vom Nenner Term sind,oder? Also x [mm] \in [/mm] {-2, [mm] \frac{5}{4} [/mm] }
Da x --> 1 folgt [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \frac{x-1}{(x+2)(4x+5)} [/mm] = 0 ???
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi,
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> ok Danke erstmal!
> Dann habe ich [mm]\frac{x-1}{(x+2)(4x+5)}.[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm] $\frac{1}{x-1}\cdot{}\left(\frac{1}{x+2}-\frac{3}{4x+5}\right)=\frac{1}{x-1}\cdot{}\left(\frac{4x+5-3(x+2)}{(x+2)(4x+5)}\right)=\frac{x-1}{(x-1)(x+2)(4x+5)}=\frac{1}{(x+2)(4x+5)}$
[/mm]
Und da gibt's doch beim Grenzübergang überhaupt kein Problem mehr ...
> Ich muss doch jetzt
> erstmal die x ausschließen die die Nullstellen vom Nenner
> Term sind,oder? Also $x [mm] \in \{-2,\frac{5}{4}\}$
[/mm]
> Da x --> 1 folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x-1}{(x+2)(4x+5)}[/mm]
> = 0 ???
>
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hi,
mist, stimmt habe falsch gekürzt. Danke. Kann man dann bei der Grenzwert Berechnung wirklich einfach für x 1 einsetzten, sodass dann [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \frac{1}{(x+2)(4x+5)} [/mm] = [mm] \frac{1}{27} [/mm] raus kommt?
Sieht zu simpel aus...:) Bzw. darf man das nur unter bestimmten Bedingungen machen?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
GW heisst doch dass es für Werte noch so nahe bei 1 beinahe den Wert gibt. wenn du in den ungkürzten Bruch x=1,000000000001 einstzt, darfst du kürzen, wenn du x=0.9999999999 einsetzt auch. dann bleiben die anderne klammern, die beinahe deine 27 geben.
Kurz, für x=1 existiert kein Wert, aber der GW ist genau Wert des gekürzten Bruchs.
Gruss leduart
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Hey,
den Hospital Satz darf ich nicht benutzen, weil wir ihn nicht hatten.
Habe nun die Polynomdivision durchgeführt:
[mm] \frac{x^m -a^m}{x^n - a^n} \frac{\frac{1}{x-a}}{\frac{1}{x-a}} [/mm] = [mm] \frac{\sum_{k=1}^m a^{k-1} x^{m-k}}{\sum_{k=1}^n a^{k-1} x^{n-k}}
[/mm]
so nun geht ja x --> a => [mm] \frac{\sum_{k=1}^m a^{m-1}}{\sum_{k=1}^n a^{n-1} } [/mm]
Nun hängt das doch nur noch davon ab ob m<n oder n<m ist?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
> Habe nun die Polynomdivision durchgeführt:
> [mm]\frac{x^m -a^m}{x^n - a^n} \frac{\frac{1}{x-a}}{\frac{1}{x-a}}[/mm] = [mm]\frac{\sum_{k=1}^m a^{k-1} x^{m-k}}{\sum_{k=1}^n a^{k-1} x^{n-k}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so nun geht ja x --> a => [mm]\frac{\sum_{k=1}^m a^{m-1}}{\sum_{k=1}^n a^{n-1} }[/mm]
> Nun hängt das doch nur noch davon ab ob m<n oder n<m ist?
Nein. Schreibe die Summen mal aus und zähle in Zähler und Nenner die Summanden.
Gruß
Loddar
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Hi,
sieht man das nicht direkt an der oberen Grenze der Summen: immer Zähler m Summanden und im Nenner n Summanden.
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Stimmt! Und nun (doch! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ) die o.g. Fallunterscheidung.
Gruß
Loddar
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Hey,
jetzt habe ich ja :
[mm] \limes_{x\rightarrow a } \frac{\sum_{k=1}^m a^{k-1} x^{m-k}}{\sum_{k=1}^n a^{k-1} x^{n-k}}
[/mm]
für n > m : habe ich ja unten mehr Summanden , dass heißt der Term wird kleiner 1 sein. Jetzt verstehe ich nicht ganz wie ich auf den genauen Grenzwert komme? Weil Kürzen kann ich hier nicht. Im Endeffekt sehe ich hier grad nur das der Bruch kleiner ist 1 ?? Soll ich hier dann für x a einsetzten? sodass [mm] \frac{\sum_{k=1}^m a^{m-1}}{\sum_{k=1}^n a^{n-1} } [/mm] rauskommt?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Wir waren doch schon so weit mit:
$$... \ = \ [mm] \bruch{m*a^{m-1}}{n*a^{n-1}}$$
[/mm]
Nun gemäß  Potenzgesetzen zusammenfassen und die Fallunterscheidung ...
Gruß
Loddar
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Hi,
achso.. dachte das wäre falsch...hast da ein "nein" geschrieben. :)
ja dann hab ich dieses:
n >m : [mm] \frac{ma^{m-1}}{na^{n-1}} [/mm] = [mm] \frac{m}{na^{n-m}}
[/mm]
n<m: [mm] \frac{ma^{m-1}}{na^{n-1}}=\frac{ma^{m-n}}{n}
[/mm]
n=m : [mm] \frac{ma^{m-1}}{na^{n-1}} [/mm] = 1
...komsich das bei keiner Teilaufgabe kein Grenzwert existiert...
naja.. bitte um Zustimmung, oder Hinweis auf Fehler :)
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Das stimmt so .
Mit der Fallunterscheidung habe ich mich dann doch selber am meisten verwirrt. Man muss lediglich für den Fall $a \ = \ 0$ die Relation der beiden Parameter $m_$ und $n_$ untersuchen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Erweitere den Bruch derart, dass im Zähler durch eine 3. binomische Formel der Wurzelterm verschwindet.
Gruß
Loddar
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Hey,
habe jetzt den Term [mm] \frac{1+ax+bx^2 -1}{(\wurzel{1+ax +bx^2} + 1)x}. [/mm] Mein Problem bei dem Aufgabentyp ist, dass ich nie weiß ab wann ich x gegen den Grenzwert laufen lassen soll? Wieso setzte ich hier z.b. nicht gleich in den Anfangsterm für x = 0 ein?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Diese Umformung ist notwendig, weil im Ausgangszustand der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] entstünde.
Nun im Zähler etwas zusammenfassen, $x_$ ausklammern, kürzen und dann Grenzwertbetrachtung.
Gruß
Loddar
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Hey,
das heißt, ich forme solange um, bis ich sehe, dass kein unbestimmter Wert bei limes raus kommt, und setzte dann den limes wert ein( weiß grad nicht wie man den Wert nennt gegen welchen der Limes strebt)?
kriege lim [mm] \frac{bx +a}{\wurzel{1+ax+bx^2} +1} [/mm] = [mm] \frac{a}{2} [/mm]
müsste stimmen?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Alles korrekt ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 18.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Bedenke, dass Du auf das Argument des ersten log-Termes eine 3. binomische Formel anwenden kann.
Durch Logarithmusgesetze kannst Du dann stark vereinfachen.
Gruß
Loddar
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Hi,
mein höchster Respekt, dass du sowas gleich siehst....!!!
kriege
[mm] log(x^4 [/mm] -1) [mm] -log(x^2-1) [/mm] = [mm] log(x^2+1) +log(x^2 [/mm] -1) - [mm] log(x^2 [/mm] -1) = [mm] log(x^2 [/mm] +1 )
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} log(x^2 [/mm] + 1) = log(2) ?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Stimmt!
Gruß
Loddar
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