Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Grenzwert von [mm] $\lim_{m \to \infty}\left( \frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m} \right)$ [/mm] berechnen. |
Ich weiß da grad überhaupt nicht wirklich weiter. Wie soll ich das angehen? Mich stört vor allem die Fakultät im Zähler.
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo erstmal ;)
Hmm..die Antwort wirklich ohne jegliche Gewähr ok. Ich würde das so machen:
[mm] m^{\bruch{1}{m}} [/mm] * [mm] ((m-1)!)^{\bruch{1}{m}}
[/mm]
Habe hier also einmal die Fakultät "rausgeholt"
Nun mit dem Nenner, also m kürzen:
[mm] m^{\bruch{1}{m}-1} [/mm] * [mm] ((m-1)!)^{\bruch{1}{m}}
[/mm]
Und wenn m nun gegen unendlich geht, bleibt da übrig:
[mm] \bruch{1}{m}
[/mm]
Kann mich aber auch total irren.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
[mm] $\frac{1}{m}$ [/mm] bleibt aber auch übrig wenn man von [mm] $\frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m}$ [/mm] erstmal die Potenz des Zählers gegen unendlich gehen lässt, denn dann hat man m! hoch 0 und dast ist 1.
Das Ergebnis soll aber [mm] $e^{-1}$ [/mm] sein...
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Hallo bandchef,
> [mm]\frac{1}{m}[/mm] bleibt aber auch übrig wenn man von
> [mm]\frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m}[/mm] erstmal die Potenz des
> Zählers gegen unendlich gehen lässt, denn dann hat man m!
> hoch 0 und dast ist 1.
>
> Das Ergebnis soll aber [mm]e^{-1}[/mm] sein... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig und ergibt sich direkt mit der Stirlingschen Formel (siehe Loddars Antwort) und dem Wissen, dass [mm]\sqrt[n]{n^k}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:41 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Und wie komme ich nun auf [mm] $e^{-1}$? [/mm] Bei mir steht nämlich noch immer $1/m$ aufm blatt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Du hast jetzt die Stirling-Formel verwendet? Dann rechne hier mal vor. Es sollte nur noch [mm] $\bruch{1}{e}$ [/mm] sowie ein Term mit dem Grenzwert 1 verbleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \lim_{m \to \infty}\left( \frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m} \right) [/mm] = [mm] \lim_{m \to \infty}\left( \frac{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m} \cdot \frac{m}{e}\right)^m\right)^{\frac{1}{m}}}{m}\right) [/mm] = ... = [mm] \lim_{m \to \infty} \left(\frac{\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m}}{e}\right) [/mm] = ...$ wie gehts da jetzt weiter?
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Hallo bandchef,
> [mm]\lim_{m \to \infty}\left( \frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m} \right) = \lim_{m \to \infty}\left( \frac{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m} \cdot \frac{m}{e}\right)^m\right)^{\frac{1}{m}}}{m}\right) = ... = \lim_{m \to \infty} \left(\frac{\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m}}{e}\right) = ...[/mm]
> wie gehts da jetzt weiter?
Hier muss doch stehen:
[mm]\lim_{m \to \infty}\left( \frac{(m!)^{\frac{1}{m}}}{m} \right) = \lim_{m \to \infty}\left( \frac{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m} \cdot \left\blue{(} \frac{m}{e}\right)^m\right)^{\frac{1}{m}}}{m}\right) = ... = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{\left\blue{(}\sqrt{2 \cdot \pi \cdot m}\rifht\blue{)}^{\blue{\bruch{1}{m}}}}{e}\right) = ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:28 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Gibt es denn keine Möglichkeit diesen Grenzwert ohne dieser Stirling-Formel zu berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mi 06.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo bandchef,
ich hätte da eine Idee...
Kommt gleich weiter unten. Die Frage lasse ich aber mal offen, die Idee ist noch nicht ganz ausgereift.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Eine Variante wäre die Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel als Näherung der Fakultät mit:
[mm]m! \ \approx \ \wurzel{2*\pi*m}*\left(\bruch{m}{e}\right)^m[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich glaube nicht, dass ich mit Näherungsformel rechnen darf. Außerdem haben wir diese Formel auch gar nicht durchgenommen!
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Hallo bandchef,
wenn Ihr die Stirlingformel nicht hattet, ist die Aufgabe ausnehmend schwierig. Wer auch immer die gestellt hat, hat sich im Schwierigkeitsgrad offenbar gehörig verschätzt. Es ist leicht zu zeigen, dass der Grenzwert [mm] \le{0,5} [/mm] sein muss (geometrisches Mittel gegen arithmetisches Mittel), auch, dass er >0 sein muss. Aber damit ist der tatsächliche Grenzwert noch nicht identifiziert.
Der Weg dahin wird wohl ebenfalls über eine Abschätzung bzw. Schachtelung laufen. Ich schreibe den zu zeigenden Term hier mal um, vielleicht kommst Du dann auf die nötige Idee:
Es ist [mm] \left(1-\bruch{1}{m-1}\right)^{m-1}<\left(\bruch{m!}{m^m}\right)^{\bruch{1}{m}}=\left(\bruch{(m-1)!}{m^{m-1}}\right)^{\bruch{1}{m}}<\left(1-\bruch{1}{m+5}\right)^{m-1}
[/mm]
Das allerdings ist nicht so leicht zu zeigen. Ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass dies so ganz der Weg ist, den Ihr gehen sollt.
Aber vielleicht hat ja noch jemand eine einfachere Idee. Diese hier funktioniert, verlangt aber eine Menge Überlegung, mehr jedenfalls als Euch normalerweise zuzumuten wäre.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 07.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
die Idee bei dieser Schachtelung (die bei mir noch nicht ganz aufgeht!) ist jedenfalls folgende: eine Ungleichungskette zu finden, die in jedem Teil gleich viele Faktoren hat (hier: m-1), und deren kleinste und größte Abschätzung gegen den gleichen Grenzwert gehen (Sandwichregel), nämlich [mm] e^{-1}.
[/mm]
Um die Gültigkeit für jeden einzelnen Faktor nachzuweisen - und darum wird es gehen - mag es nötig sein, in Teilen der Ungleichungkette, vor allem beim zu zeigenden Term der ursprünglichen Aufgabe, nicht nur einzelne Terme zu betrachten, sondern z.B. Terme wie [mm] \bruch{a}{m}*\bruch{m-a}{m}. [/mm] Das ist ein beliebter "Trick", aber auch der klappt hier nicht so einfach.
Bei dieser Herangehensweise sind zudem einige Grenzwertsätze vonnöten. Aus der "kleinen" und unverdächtigen Aufgabe wird dadurch schnell eine eher große, weswegen ich nicht recht glauben mag, dass dies das vom Aufgabensteller gedachte Vorgehen ist. Aber immerhin ist es eines, das ohne Stirlingformel funktionieren kann.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Do 07.04.2011 | | Autor: | dazivo |
Hallo!
Das Folgende wird dir sicher weiterhelfen:
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Lemma: (das kannst du als Übung beweisen)
Wenn [mm] $a_n$ [/mm] eine Folge von positiven reellen Zahlen ist mit Grenzwert $a$,
dann konvergiert
$$
[mm] b_n [/mm] := [mm] (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}
[/mm]
$$
ebenfalls gegen a.
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Wir verwenden das obige Lemma um die Urspüngliche Aufgabe zu lösen:
Wende das obige Lemma für die Folge an:
$$
[mm] a_1 [/mm] , [mm] \frac{a_2}{a_1}, \frac{a_3}{a_2}, \cdots, \frac{a_n}{a_{n-1}}, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}, \cdots [/mm]
$$
Um zu sehen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$.
[/mm]
Setze nun [mm] $a_n:= \frac{n!}{n^n}$ [/mm] um
$$
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}}
[/mm]
$$
zu sehen. und das geht bekanntlich gegen [mm] $\frac{1}{e}$.
[/mm]
Gruss dazivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Do 07.04.2011 | | Autor: | reverend |
Viel bessere Idee als meine. Das solltest Du hinkriegen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 26.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab jetzt mal deinen Ansatz durchgeführt und komme jetzt an dieser Stelle nicht mehr weiter:
$... = [mm] \frac{m^m}{(m+1)^m} [/mm] = ...$
Wie kann ich das jetzt so umformen das ich Nenner auf die "Definition" der e-Funktion komm?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab jetzt mal deinen Ansatz durchgeführt und komme
> jetzt an dieser Stelle nicht mehr weiter:
>
> [mm]... = \frac{m^m}{(m+1)^m} = ...[/mm]
>
> Wie kann ich das jetzt so umformen das ich Nenner auf die
> "Definition" der e-Funktion komm?
[mm] \frac{m^m}{(m+1)^m} [/mm] = [mm] (\frac{m}{m+1})^m= (\frac{m+1-1}{m+1})^m=(1-\frac{1}{m+1})^m
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 26.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke das hat geholfen. Aber jetzt kann man nur noch nicht erkennen, dass das in der Tat die e-Funktion sein soll, oder? Wie bring ich das jetzt noch weiter auf die gewünschte Form?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \frac{m^m}{(m+1)^m} [/mm] $ = $ [mm] (\frac{m}{m+1})^m= (\frac{m+1-1}{m+1})^m=(1-\frac{1}{m+1})^m [/mm] = [mm] (1-\frac{1}{m+1})^{m+1}* (1-\frac{1}{m+1})^{-1} \to e^{-1}*1$
[/mm]
FRED
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