Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x+1} [/mm] |
Hallo,
obige Aufgabe soll gelöst werden.
Die Aufgabe stammt aus einem Buch.
1. Schritt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0+1} [/mm] = 1
Darum gilt:
2. Schritt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1}{x+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}+1} [/mm] = 1
Mein Problem ist nun, warum wird aus [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] plötzlich [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (im ersten Schritt)?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht ja nicht x gegen unendlich, sondern n, wobei [mm] x_n [/mm] für n gegen unendlich gegen 0 geht, also z. Bsp [mm] x_n=1/n [/mm] oder [mm] x_n=1/n^2 [/mm] usw . das sind nur Beispiele, es wurde allgemein IRGENDEINE Nullfolge genommen, so dass für n gegen unendlich [mm] x_n [/mm] gegen 0 geht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Das heißt also, dass x weiterhin gegen 0 geht, der Index von diesem x (in dem Fall also n) gegen unendlich geht?
Warum geht dann aber n nicht gegen 0? Ist das immer so, dass n gegen unendlich strebt? (Rein logisch gesehen müsste es ja immer gegen unendlich gehen, aber ist das auch so? Oder muss man da irgendetwas beachten?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ihr habt doch sicher vorher Folgen angesehen, wie [mm] a_n=1/n [/mm] und schwierigere, da geht doch immer n gegen unendlich? wenn man unendlich viele Folgenglieder haben will kann man ja nicht einfach mit einer großen Zahl anfangen und dann bis 0 runterzählen. das n ist doch nur die Nummer, die das x hat. du kannst mit [mm] x_1=100 [/mm] anfangen und dann immer kleiner werden, [mm] x_{100}=1/10 [/mm] usw wen n immer größer wird wird [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] x_n [/mm] immer kleiner. dann nennt man [mm] x_n [/mm] eine nullfolge und sagt für n gegen unendlich geht [mm] x_n [/mm] gegen 0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Klar! Denkfehler meinerseits!
Vielen Dank für deine Hilfe. Wieder was gelernt hier.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte
[mm] \limes_{x \rightarrow\ -\infty}\bruch{1}{arctan x} [/mm] |
Jetzt habe ich auch noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.
Die vorliegende Rechnung sieht folgendermassen aus:
[mm] \limes_{n \rightarrow\ \infty}\bruch{1}{arctan x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{n \rightarrow\ \infty}arctan x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{-\pi}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{\pi}
[/mm]
Woher kommt das Minus in diesem Schritt?
[mm] \bruch{1}{\bruch{-\pi}{2}}
[/mm]
Laut dem Buch, welches ich gerade rechne ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] arctan x als [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] definiert.
Ist das nun ein Fehler in der Aufgabe? Wenn der limes gegen - unendlich gehen würde, würds ja stimmen oder? Oder wie funktioniert das, stehe wohl etwas auf dem Schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo poeddl!
> [mm]\limes_{n \rightarrow\ \infty}\bruch{1}{arctan x_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\limes_{n \rightarrow\ \infty}arctan x_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{-\pi}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{\pi}[/mm]
>
> Woher kommt das Minus in diesem Schritt?
Du musst Dich entscheiden, ob der Grenzwert nun für [mm]\red{x}\rightarrow\red{-}\infty[/mm] oder für [mm]\red{x}\rightarrow\red{+}\infty[/mm] bestimmen sollst.
Für [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] läuft [mm]\arctan(x)[/mm] gegen [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:28 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
so steht es im Buch, es handelt sich dabei um keinen Rechtschreibfehler meinerseits. Also ist meine Vermutung richtig und es handelt sich im Buch um einen Fehler?
Das würde mich freuen, dann hätte ich es verstanden
Viele Grüße und Danke
poeddl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo poeddl!
Was soll ein Fehler im Buch sein? Du schreibst oben in Deinem Artikel einmal den Grenzwert für [mm] $-\infty$ [/mm] und einmal für [mm] $+\infty$ [/mm] .
Für [mm] $-\infty$ [/mm] stimmt doch dann alles.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Aber müsste [mm] \bruch{1}{\limes_{n \rightarrow\ \infty}arctan x_{n}}
[/mm]
dann nicht so lauten: [mm] \bruch{1}{\limes_{n \rightarrow\ -\infty}arctan x_{n}} [/mm] ?
Also damit das Pi negativ ist meine ich?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Das kommt ganz darauf an, wie Du [mm] $x_n$ [/mm] definierst.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 21.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Okay, alles klar. Dann habe ich es jetzt verstanden.
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
Echt spitze!
Gruß poeddl
|
|
|
|
