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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{9^n}(\bruch{3n+3}{n})^{2n+1} [/mm] |
Zunächst habe ich die Drei ausgeklammert:
[mm] \gdw \bruch{1}{9^n}(\bruch{3*(n+1)}{n})^{2n+1}
[/mm]
Dann den Exponenten wieder eingeklammert:
[mm] \gdw \bruch{1}{9^n}(\bruch{3^{2n+1}*(n+1)^{2n+1}}{n^{2n+1}})
[/mm]
Nun war ich mir unsicher und habe die +1 im Exponenten rausgeholt (wenn das überhaupt geht?):
[mm] \gdw \bruch{1}{9^n}\bruch{3*(n+1)}{n}\bruch{3^{2n}*(n+1)^{2n}}{n^{2n}}
[/mm]
Naja und für die übrigen Exponenten dachte ich:
[mm] \gdw \bruch{1}{9^n}\bruch{3*(n+1)}{n}((\bruch{3*(n+1)}{n})^{2})^{n}
[/mm]
Komme nun nicht weiter, weil ich wahrscheinlich totalen Quatsch gemacht habe. :O
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Hallo SturmGhost!
Das war doch schon ein guter Anfang. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zunächst habe ich die Drei ausgeklammert:
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{9^n}(\bruch{3*(n+1)}{n})^{2n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nun wird daraus (das $\gdw$ ist doch übrigens Nonsens, ein einfaches $=_$ reicht aus):
$= \ \bruch{1}{\left(3^2\right)^n}*\bruch{3^{2n+1}}{1}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{2n+1}$
$= \ \bruch{3^{2n+1}}{3^{2n}}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{2n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^1$
$= \ 3^{2n+1-2n}*\left[\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}\right]^2*\left(1+\bruch{1}{n}\right)$
Kommst Du nun alleine weiter?
Der Grenzwert $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ sollte bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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Danke. Dann sollte der Grenzwert [mm] 3e^2 [/mm] sein?
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Hallo SturmGhost!
> Dann sollte der Grenzwert [mm]3e^2[/mm] sein?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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