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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert berechnen von Reihe
Grenzwert berechnen von Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert berechnen von Reihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Fr 13.05.2005
Autor: Berndte2002

Hallo,

es soll der Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] berechnet werden.

Ich habe schon rausgefunden, dass man das Ganze in zwei Reihen splitten kann, wobei ich von einer Reihe den Grenzwert leicht berechnen kann:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} [/mm] = 1 - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} [/mm]

Aber irgendwie komme ich nicht auf den Grenzwert der zweiten Reihe, ich hoffe es kann mir wer helfen und mein Ansatz ist überhaupt richtig.
Nach meinem Taschenrechner sollte der Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] sein, da der Grenzwert der Gesamtreihe bei [mm] \bruch{1}{4} [/mm] liegt.
Danke
mfg
Berndte
        
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Tipp: Zerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Fr 13.05.2005
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo,
>  
> es soll der Grenzwert der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm]

Es gilt für alle $n [mm] \in \IN$: [/mm]
[mm]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{\frac{1}{2}\left((n+2)-n\right)}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}*\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)[/mm]

Kommst du damit weiter (analog zum (d.h. betrachte die Folge der Teilsummen, analog zu der Vorgehensweise im Skript bzw. Stichwort: []Teleskopreihe) oder mithilfe des, dir wohl schon bekannten, []Beispiel 6.2, S.49 f. (interne Zählung))?

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
                
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Alles Klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Fr 13.05.2005
Autor: Berndte2002

Super, mit der Zerlegung ist alles klar!
Danke
mfg
Berndte
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert berechnen von Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Fr 13.05.2005
Autor: Marcel


> Super, mit der Zerlegung ist alles klar!

[daumenhoch]
>  Danke

Bitte! Übrigens hast du nun Dank deiner Zerlegung auch einen Beweis dafür gefunden, dass:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+2)} =\frac{3}{4}$ [/mm] ist! War mir bisher auch noch nicht geläufig :-)!

PS: Zu der Zerlegung kann man übrigens, etwas systematischer, auch wie folgt gelangen ($A$ und $B$ seien zu bestimmen!):
[m]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n(n+1)}-\frac{B}{(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)-Bn}{n(n+1)(n+2)}=\frac{(A-B)n+2A}{n(n+1)(n+2)}[/m]
Durch Koeffizientenvergleich (ganz linke Seite der Gleichung mit der ganz rechts) erhält man das GLS:
(I) $A-B=0$
(II) 2A=1
und damit [mm] $A=B=\frac{1}{2}$. [/mm]
Nur so zur Ergänzung!

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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