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Grenzwert bestimmen: Tipp, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Fr 13.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}) [/mm]

Hallo,

leider komme ich bei der Aufgabe nicht wirkich weiter :(

Mein Ansatz bisher:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k(k+1)}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{k(k+1)}-1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{k(k+1)}}-1 [/mm] ....

Nun bin ich mir leider nich sicher, ob man das so machen kann.

Falls es der richtige Weg ist, wie geht es nun weiter?

Vielen Dank

        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Fr 13.01.2017
Autor: Stala

Es gilt:

[mm] \frac{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+1} [/mm]

Versuche mal, ob du damit weiterkommst

Bezug
                
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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Sa 14.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Leider komme ich so auch nicht weiter :(

Mit fehlt irgendwie der Ansatz bzw. ein Einstieg. Vielleicht kannst du mir da nochmal etwas mehr unter die Arme greifen ?

Vielen Dank

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Sa 14.01.2017
Autor: angela.h.b.



> Mit fehlt irgendwie der Ansatz bzw. ein Einstieg.

Hallo,

der Tip war nicht schlecht...

Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{1*2}*\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{(n-1)*n}+\bruch{1}{n*(n+1)} [/mm]

Wenn Du jetzt den Tip verwendest, solltest Du Dic dem Ziel nähern.

LG Angela

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Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Sa 14.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

setze einfach mal die ersten Werte für k in den umgeformten Summanden ein. Dann sollte dir etwas auffallen, was unter dem Begriff Teleskopprinzip allgemein bekannt ist.

(Die vorigen Antworten zielen ebenfalls darauf ab).

Gruß, Diophant

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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Sa 14.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich habe das jetzt mal gemacht:

[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4} [/mm]

Es fällt auf, dass nach [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 sich die anderen Folgeglieder aufheben.

Kann man daher sagen, dass der Grenzwert 1 ist?

Bezug
                                        
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Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Sa 14.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

ich denke, du hast es verstanden. Und der Grenzwert 1 stimmt. Jetzt musst du das ganze noch vernünftig hinschreiben.

Gruß, Diophant

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