Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 So 21.11.2010 | | Autor: | yonca |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? In meinen Skript steht folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \bruch{t^k}{k!} \left( 1-\bruch {1}{2} \right)^n\left( 1-\bruch{1}{2} \right)^{-k}\bruch{n(n-1).......(n-k+1)}{n^k} \right) [/mm] = [mm] \bruch{t^k}{k!} [/mm] exp(-t)
Und ich kann nicht nachvollziehen, wie man darauf kommt. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Wäre wirklich nett.
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 So 21.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? In meinen Skript
> steht folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \bruch{t^k}{k!} \left( 1-\bruch {1}{2} \right)^n\left( 1-\bruch{1}{2} \right)^{-k}\bruch{n(n-1).......(n-k+1)}{n^k} \right)[/mm]
> = [mm]\bruch{t^k}{k!}[/mm] exp(-t)
>
> Und ich kann nicht nachvollziehen, wie man darauf kommt.
Ich auch nicht. Dass man [mm] \bruch{t^k}{k!} [/mm] als konstante Größe vor den Limes ziehen kann, dürfte klar sein.
Dass dann der Restterm im Limes (der dann gar kein t mehr enthält!!!) gegen exp(-t) konvergiert, ist unlogisch.
Hast du uns irgendeine funktionale Abhängigkeit zwischen t und den anderen Variablen bzw. Parametern verschwiegen?
Gruß Abakus
> Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Wäre wirklich
> nett.
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 21.11.2010 | | Autor: | yonca |
Sorry, ich habe mich ein wenig verschrieben.
Korrekt lautet es:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \bruch{t^k}{k!} \left( 1-\bruch {t}{n} \right)^n\left( 1-\bruch{t}{n} \right)^{-k}\bruch{n(n-1).......(n-k+1)}{n^k} \right)[/mm]
> > = [mm]\bruch{t^k}{k!}[/mm] exp(-t)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 21.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
[mm] \bruch{n(n-1).......(n-k+1)}{n^k} [/mm] kann man anders/übersichtlicher schreiben. Das "n(n-1).......(n-k+1)" kann man als bruch von zwei Fakultäten schreiben.
Ausserdem sollte man das hier, auf eine Bekannte Form bringen: [mm] \left( 1-\bruch {t}{n} \right)^n [/mm]
Substituiere hier [mm] -\bruch{t}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{u}, [/mm] so solltest du mit Potenzgesetzen auf eine Bekannte Form mit u kommen, deren Grenzwert du schon a priori wissen solltest.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 21.11.2010 | | Autor: | yonca |
viel schlauer bin ich leider immer noch nicht.
also den Ausdruck n(n-1)......(n-k+1) kann man, wenn man mit (n-k)! erweitert, denke ich auch schreiben als [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}
[/mm]
Oder, kann man es noch einfacher/anders schreiben?
Und dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\bruch{x}{n} \right)^n [/mm] = exp(x) ist, ist mir auch klar.
Aber weiter weiß ich leider trotzdem noch nicht. Bitte kann mir jemand helfen?
Viele Grüße und vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 21.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> viel schlauer bin ich leider immer noch nicht.
Doch.
>
> also den Ausdruck n(n-1)......(n-k+1) kann man, wenn man
> mit (n-k)! erweitert, denke ich auch schreiben als
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
Ja!
> Oder, kann man es noch einfacher/anders schreiben?
>
> Und dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\bruch{x}{n} \right)^n[/mm]
> = exp(x) ist, ist mir auch klar.
Ja.
>
> Aber weiter weiß ich leider trotzdem noch nicht. Bitte
> kann mir jemand helfen?
[mm] (1-\bruch{t}{n})^{n} [/mm]
Jetzt [mm] -\bruch{t}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
Somit ist n = -t*u
und mann kann schreiben
[mm] (1+\bruch{1}{u})^{-t*u} [/mm] = [mm] ((1+\bruch{1}{u})^{u})^{-t} [/mm] = ...?
Was passiert mit [mm] (1-\bruch{t}{n})^{-k} [/mm] wenn n [mm] \to \infty [/mm] ?
Was passiert mit [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}?
[/mm]
Gruss
>
> Viele Grüße und vielen Dank schon mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 22.11.2010 | | Autor: | yonca |
Ok, also ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]((1+\bruch{1}{u})^{u})^{-t}[/mm] = [mm] (e^1)^{-t} [/mm] = [mm] e^{-t}
[/mm]
Aber mir ist noch nicht so ganz klar warum ich hier einfach so substituieren kann? Wann und unter welchen Bedingungen kann ich das so machen?
> Was passiert mit [mm](1-\bruch{t}{n})^{-k}[/mm] wenn n [mm]\to \infty[/mm] ?
Ich denke, dieser Ausdruck geht gegen 1. Aber ich denkte dies nur, da ich einfach mal für t und k feste Werte eingesetzt habe und für n immer größere Werte eingesetzt habe. Und da schien es so als würde der Ausdruck gegen Eins konvergieren. Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das überhaupt einfach so testen kann?
> Was passiert mit [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}?[/mm]
Bei diesem Ausdruck bin ich mir total unsicher und weiß nicht, wie ich herausfinden soll wogegen er konvergiert? Denn eigentlich müsste doch sowohl Zähler als auch Nenner gegen unendlich gehen. Dann hätte man ja unendlich geteilt durch Unendlich. Aber Unendlich geteilt durch Unendlich ist doch nicht automatisch gleich Eins, oder?
Viele Grüße vielen Dank schon mal!
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 22.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> Ok, also ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]((1+\bruch{1}{u})^{u})^{-t}[/mm] =
> [mm](e^1)^{-t}[/mm] = [mm]e^{-t}[/mm]
>
> Aber mir ist noch nicht so ganz klar warum ich hier einfach
> so substituieren kann? Wann und unter welchen Bedingungen
> kann ich das so machen?
Berechtigte Frage. Aber: In der Mathematik gibt es doch verschiedene Möglichkeiten etwas darzustellen. Wieso sollte man eine Zahl n nicht einfach als z.B. 5*z schreiben können und z einfah 5 mal kleiner machen als n?!
Wo du aufpassen musst ist natürlich schon dann wenn du Grenzwerte bildest. Damit meine ich, dass wenn du [mm] \limes_{w\rightarrow\infty} [/mm] f(w) berechnen willst und substituierst w = [mm] \bruch{1}{s},
[/mm]
so musst du [mm] \limes_{s\rightarrow 0} [/mm] f(s) berechnen!
>
> > Was passiert mit [mm](1-\bruch{t}{n})^{-k}[/mm] wenn n [mm]\to \infty[/mm] ?
>
> Ich denke, dieser Ausdruck geht gegen 1. Aber ich denkte
> dies nur, da ich einfach mal für t und k feste Werte
> eingesetzt habe und für n immer größere Werte eingesetzt
> habe. Und da schien es so als würde der Ausdruck gegen
> Eins konvergieren. Ich bin mir aber nicht sicher, ob man
> das überhaupt einfach so testen kann?
Ja testen kann man schon, nur reichen tuts nicht. Schau dier mal unter diesem Link den Abschnitt "Grenzwertsätze" an!
![[]](/images/popup.gif) Grenzwerte
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> > Was passiert mit [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}?[/mm]
>
> Bei diesem Ausdruck bin ich mir total unsicher und weiß
> nicht, wie ich herausfinden soll wogegen er konvergiert?
> Denn eigentlich müsste doch sowohl Zähler als auch Nenner
> gegen unendlich gehen. Dann hätte man ja unendlich geteilt
> durch Unendlich. Aber Unendlich geteilt durch Unendlich ist
> doch nicht automatisch gleich Eins, oder?
Ja das ist das schwierigste an der Aufgabe!
Ich würds mir für verschiedene feste willkürliche k berechnen und dann versuchen für allgemeine k. Wie siehts aus für k = 0?
Gruss
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> Viele Grüße vielen Dank schon mal!
> >
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