Grenzwert bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 10.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{e^x -cosx}{e^{2x} -cos^2x} [/mm] |
Also wenn man 0 einsetzen würde, dann würde ja
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] dastehen und dann würde man die Regel-Hospital anwenden
und die den Zähler sowie den Nenner getrennt ableiten.
der Zähler ist ja klar mit [mm] \bruch{e^x + sinx}{????}
[/mm]
aber beim Nenner komm ich nicht drauf, weil ich mit den
-cos^2x nichts anfangen kann ??? Ob man das umschreiben kann
oder so? [mm] e^{2x} [/mm] wird ja zu [mm] 2e^{2x}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen...
Vielen Dank
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{e^x -cosx}{e^{2x} -cos^2x}[/mm]
>
> Also wenn man 0 einsetzen würde, dann würde ja
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] dastehen und dann würde man die
> Regel-Hospital anwenden
> und die den Zähler sowie den Nenner getrennt ableiten.
>
> der Zähler ist ja klar mit [mm]\bruch{e^x + sinx}{????}[/mm]
> aber
> beim Nenner komm ich nicht drauf, weil ich mit den
> -cos^2x nichts anfangen kann ??? Ob man das umschreiben
> kann
> oder so?
Hallo,
[mm] cos^2(x) [/mm] bedeutet [mm] (cos(x))^2.
[/mm]
Ableiten mit der Kettenregel, oder (im Notfall!) indem Du schreibst cos(x)*cos(x) und dann mit der Produktregel ableitest.
Gruß v. Angela
> [mm]e^{2x}[/mm] wird ja zu [mm]2e^{2x}[/mm]
>
> Ich hoffe ihr könnt mir da helfen...
>
> Vielen Dank
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 10.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
Hallo
Danke schonmal für die schnelle antwort.
Also wenn ich den Nenner dann ableiten müsste das dann so heißen?
[mm] =e^{2x}-cos^2x [/mm] wird dann zu f'(x)= [mm] 2e^{2x} [/mm] - 2*cosx*(-sinx)
Ist das richtig und kann man das noch zusammenfassen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
das kann und sollte man selbstverständlich noch zu
[mm]e^{2x}+2*cos{x}*sin{x}[/mm]
vereinfachen.
Was ich nicht verstehe: warum tust du dir das mit de l'Hospital hier überhaupt an, abakus hatte dir doch schon einen viel eleganteren und schnelleren Weg per 3. Binom aufgezeigt?
Ich würde mir den Sinn dieses Tipps auf jeden Fall noch klar machen: es ist unheimlich wichtig beim Berechnen von Grenzwerten (und sonst im Leben auch  ), dass man eine Reihe solcher Tricks auf Lager hat.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 10.07.2011 | | Autor: | abakus |
>
> > Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{e^x -cosx}{e^{2x} -cos^2x}[/mm]
>
> >
> > Also wenn man 0 einsetzen würde, dann würde ja
> > [mm]\bruch{0}{0}[/mm] dastehen und dann würde man die
> > Regel-Hospital anwenden
> > und die den Zähler sowie den Nenner getrennt
> ableiten.
> >
> > der Zähler ist ja klar mit [mm]\bruch{e^x + sinx}{????}[/mm]
> >
> aber
> > beim Nenner komm ich nicht drauf, weil ich mit den
> > -cos^2x nichts anfangen kann ??? Ob man das umschreiben
> > kann
> > oder so?
>
> Hallo,
>
> [mm]cos^2(x)[/mm] bedeutet [mm](cos(x))^2.[/mm]
> Ableiten mit der Kettenregel, oder (im Notfall!) indem Du
> schreibst cos(x)*cos(x) und dann mit der Produktregel
> ableitest.
>
> Gruß v. Angela
Eine noch einen Tick elegantere Variante wäre das Kürzen des gegebenen Bruchterms unter Anwendung der 3. binomischen Formel.
Da braucht man nicht einmal L'Hospital.
Gruß Abakus
>
>
>
> > [mm]e^{2x}[/mm] wird ja zu [mm]2e^{2x}[/mm]
> >
> > Ich hoffe ihr könnt mir da helfen...
> >
> > Vielen Dank
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 10.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
Also wenn ich die Sache nach der 3. Binomischen formel machen, würde
das dann viel folgt aussehen?
[mm] \bruch{e^x-cosx}{(e^x+cosx)(e^x-cosx)}
[/mm]
Und dann würde ich einfach [mm] e^x-cosx [/mm] wegkürzen und
es würde [mm] e^x+cosx [/mm] stehenbleiben.
Wenn das gehen 0 strebt müsste der Grenzwert ja 2 sein oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also wenn ich die Sache nach der 3. Binomischen formel
> machen, würde
> das dann viel folgt aussehen?
>
> [mm]\bruch{e^x-cosx}{(e^x+cosx)(e^x-cosx)}[/mm]
ja, so ist es.
> Und dann würde ich einfach [mm]e^x-cosx[/mm] wegkürzen und
> es würde [mm]e^x+cosx[/mm] stehenbleiben.
> Wenn das gehen 0 strebt müsste der Grenzwert ja 2 sein
> oder?
sicherlich nicht. Wie kommst du auf 2?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 10.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
sorry ich meine auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] weil oben bleibt ja noch die 1 stehen :)
Weil unsere lehrer hatte den zwischenschritt und ich kann den immernoch
nicht nachvollziehen nicht mit Kettenregel und nicht mit 3. Binomische Formel.
Das hatte er nach anwendung des L'Hostpital raus. Aber da hatte ich doch was ganz anderes raus nach Kettenregel
[mm] \bruch{e^x+sinx}{2e^{2x}+sin2x}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
nun: es ist
[mm] \frac{d}{dx}(cos{x})^2=2*cos{x}*sin{x}
[/mm]
und ein Blick in die Formelsammlung (Abteilung: trigonometrische Identitäten) verrät uns, dass
[mm]sin{2x}=2*cos{x}*sin{x}[/mm]
gilt, was euer Lehrer noch angewendet hat.
Die 1/2 als Grenzwert stimmen jetzt, und du hast zwei unterschiedliche Wege zur Verfügung, wie du das zeigen kannst. Außerdem noch eine neue Formel gelernt. So schön kann Mathe sein. 
Gruß, Diophant
|
|
|
|
