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| Aufgabe | Finde reelle Zahlen a und b, für die gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}(\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b) [/mm] = 0 |
Hallo zusammen,
hat jemand einen Ansatz für mich? Ich finde keinen.
Gruss
Alexander
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Hallo Alexander!
Bedenke, dass gilt: [mm] $u^3-v^3 [/mm] \ = \ [mm] (u-v)*\left(u^2+u*v+v^2\right)$
[/mm]
Erweitere Deinen Ausdruck also mit [mm] $\left(u^2+u*v+v^2\right)$ [/mm] wobei gilt: $u \ := \ [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}$ [/mm] sowie $v \ := \ (a*x+b)$ .
Anschließend im Zähler zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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> Bedenke, dass gilt: [mm]u^3-v^3 \ = \ (u-v)*\left(u^2+u*v+v^2\right)[/mm]
>
> Erweitere Deinen Ausdruck also mit [mm]\left(u^2+u*v+v^2\right)[/mm]
> wobei gilt: [mm]u \ := \ \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}[/mm] sowie [mm]v \ := \ (a*x+b)[/mm]
> .
>
> Anschließend im Zähler zusammenfassen.
Ich erweitere [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b [/mm] mit [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2 [/mm] + [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(ax+b) [/mm] + [mm] (ax+b)^2
[/mm]
Also: [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b)(\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2 + \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(ax+b) + (ax+b)^2)}{\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2 + \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(ax+b) + (ax+b)^2}
[/mm]
= ... = [mm] \bruch{(1-a^3)x^3 + (1-3a^2b)x^2 + (1-3ab^2)x + (1-b^3)}{\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2 + \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(ax+b) + (ax+b)^2}
[/mm]
Ich würde sagen, dass wir a und b positiv so wählen müssen, dass der Nenner schneller gegen [mm] +\infty [/mm] geht als der Zähler.
reverend meinte ja a = 1 und b = 1/3. Dann hätte ich im Zähler stehen 2/3x + 26/27 und das geht gegen [mm] +\infty, [/mm] aber der Nenner geht auch gegen [mm] +\infty [/mm] und somit hätte ich eine Aussage [mm] +\infty [/mm] / [mm] +\infty, [/mm] aber ich denke, dass der Nenner schneller gegen [mm] +\infty [/mm] geht, als der Zähler. Ich weiß nicht mehr weiter...
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Hallo Alexander!
Du bist auf einem guten Weg.
$a_$ und $b_$ sind nun derart zu bestimmen, dass die höchste Potenz im Nenner höher ist als die höchste Potenz im Zähler.
Und das geschieht genau dann, wenn im Zähler die Term mit [mm] $x^3$ [/mm] und [mm] $x^2$ [/mm] verschwinden.
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, dann begründe ich es so:
Setze a := 1, b := [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Im Zähler haben wir dann stehen: [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{26}{27}
[/mm]
Insbesondere ist die höchste Potenz von x 1.
Im Nenner haben wir stehen: [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2 [/mm] + [mm] \wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(x+\bruch{1}{3}) [/mm] + [mm] (x+\bruch{1}{3})^2
[/mm]
Die ersten beiden Summanden gehen gegen [mm] +\infty, [/mm] wenn x [mm] \to +\infty. [/mm] Der letzte Summand [mm] (x+\bruch{1}{3})^2 [/mm] ist vom Grad 2 und geht auch gegen [mm] +\infty. [/mm] Also gehen alle Summanden im Nenner gegen [mm] +\infty [/mm] und es gibt es eine höhere Potenz von x im Nenner als im Zähler. Daraus folgt, dass der Grenzwert für x [mm] \to +\infty [/mm] 0 ist.
Reicht das so als Begründung? Ich finde irgendwie, dass das zuviel mit Worten ist...
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Hallo Alexander,
ja, der Weg ist zu lang und stellenweise undurchsichtig und sicher mit zuviel Prosa.
> Ok, dann begründe ich es so:
>
> Setze a := 1, b := [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Dein Korrektor will wissen, wieso Du gerade das setzt. Intuition ist dabei eine schlechte Begründung, und weder der Rat eines Hellsehers noch ein Tipp aus einem Internetforum sind da empfehlenswert. Warum nimmst Du also gerade diese beiden Werte an?
Als Grund würde z.B. eine Abschätzung genügen, denn Du zeigst dann ja mit einigem Aufwand, ob diese Werte stimmen oder nicht.
> Im Zähler haben wir dann stehen: [mm]\bruch{2}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{26}{27}[/mm]
Mag sein, habe ich nicht nachgerechnet.
> Insbesondere ist die höchste Potenz von x 1.
Das ist wesentlich.
> Im Nenner haben wir stehen: [mm]\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}^2[/mm] +
> [mm]\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}(x+\bruch{1}{3})[/mm] +
> [mm](x+\bruch{1}{3})^2[/mm]
>
> Die ersten beiden Summanden gehen gegen [mm]+\infty,[/mm] wenn x [mm]\to +\infty.[/mm]
> Der letzte Summand [mm](x+\bruch{1}{3})^2[/mm] ist vom Grad 2 und
> geht auch gegen [mm]+\infty.[/mm] Also gehen alle Summanden im
> Nenner gegen [mm]+\infty[/mm] und es gibt es eine höhere Potenz von
> x im Nenner als im Zähler. Daraus folgt, dass der
> Grenzwert für x [mm]\to +\infty[/mm] 0 ist.
Hier reicht es, die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner zu betrachten. Das kürzt den Text erheblich. Oft findet man auch noch eine Ungleichung, mit der man noch viel weniger erklären muss, also einen viel einfacher gebauten Vergleichsterm.
> Reicht das so als Begründung? Ich finde irgendwie, dass
> das zuviel mit Worten ist...
Wie gesagt, finde ich das auch.
Aber nun noch ein Hinweis zu a=1 und [mm] b=\bruch{1}{3}.
[/mm]
Bekanntlich ist [mm] (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. [/mm] Damit habe ich angefangen.
Hätte die Aufgabe gefordert, ganz entsprechend vorzugehen für [mm]\wurzel[3]{sx^3+tx^2+ux+v}-(ax+b)[/mm], dann hätte ich erst einmal a bestimmt als [mm] a=\wurzel[3]{s}, [/mm] und dann [mm] b=\bruch{1}{3}*\bruch{t}{a^2}.
[/mm]
Der Grund ist einfach der, dass ich ja für große x erreichen will, dass
[mm] \wurzel[3]{sx^3+tx^2+ux+v}\approx{}ax+b [/mm] ist. Da die Wurzel schlecht zu ziehen ist, der Radikand für hinreichend große x aber positiv ist, kann ich diese Abschätzung auch in die 3. Potenz erheben:
[mm] sx^3+tx^2+ux+v\approx(ax+b)^3
[/mm]
Damit das für große x "stimmt" (schwer zu definieren, übrigens), möchte ich möglichst viele Potenzen von der größten an abwärts verschwinden lassen. Rechts wende ich den binomischen Lehrsatz an und führe dann einen Koeffizientenvergleich an:
[mm] s=a^3,\;\;\;t=ba^2, [/mm] und weiter komme ich leider nicht, weil ich rechts ja auch nur zwei Parameter habe, um zu variieren. Das muss also reichen.
Und damit bekomme ich nun in der vorliegenden Aufgabe a=1 und [mm] b=\tfrac{1}{3}, [/mm] vorerst ohne zu wissen, ob das nun auch die Lösung ist - auch wenn alles dafür spricht.
Deswegen muss dann noch eine Untersuchung folgen, oder aber eine geschicktere Darstellung des bis hier gegangenen Weges als ich sie darzustellen vermag. (Hm. Das ist ja richtige Hochsprache...)
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
deine Schritte kann ich nachvollziehen, aber wie man jetzt mit deinem Ansatz beweisen soll, dass auch wirklich a=1 und [mm] b=\tfrac{1}{3} [/mm] sein müssen, weiß ich nicht. Einer aus unserer kleinen Gruppe, hat die Aufgabe mit folgendem Trick gelöst: [mm] (a-b)^3 [/mm] = [mm] (a-b)(a^2 [/mm] + ab [mm] +b^2) [/mm] Und durch passende Umformungen kam man dann auch auf das gesuchte a und b.
Dennoch danke für deine Hilfe!
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 So 27.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo reverend,
>
> deine Schritte kann ich nachvollziehen, aber wie man jetzt
> mit deinem Ansatz beweisen soll, dass auch wirklich a=1 und
> [mm]b=\tfrac{1}{3}[/mm] sein müssen, weiß ich nicht. Einer aus
> unserer kleinen Gruppe, hat die Aufgabe mit folgendem Trick
> gelöst: [mm](a-b)^3[/mm] = [mm](a-b)(a^2[/mm] + 2ab [mm]-b^2)[/mm] (Ich hoffe, die
> Formel ist so korrekt...Jedenfalls war sie so ähnlich) Und
Hallo,
es ist zwar ein paar Tage her, aber diese Formel hat man dir schon einmal (ohne deinen Vorzeichenfehler) genannt:
https://matheraum.de/read?i=943497
Gruß Abakus
> durch passende Umformungen kam man dann auch auf das
> gesuchte a und b.
> Dennoch danke für deine Hilfe!
>
> Grüsse
> Alexander
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Hallo Alexander,
> Finde reelle Zahlen a und b, für die gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}(\wurzel[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b)[/mm]
> = 0
> Hallo zusammen,
>
> hat jemand einen Ansatz für mich? Ich finde keinen.
Mich bestürmt das dringende Gefühl, dass $a=1$ und [mm] b=\bruch{1}{3} [/mm] ist.
Wenn Du es weniger gefühlvoll willst, rechne mal [mm] \left(1*x+\bruch{1}{3}\right)^3 [/mm] aus und frage Dich, was das wohl mit dieser Aufgabe zu tun haben könnte.
Das Leben ist ein Rätsel...
Grüße
reverend
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