Grenzwert bzw. Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
Hi!
Folgende Aufgabebstellung:
Berechnen SIe von der folgenden Folge alle Häufungspunkte:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-3)^n*n^2 + n}{4^n} [/mm] =
Meine Idee wäre es jetzt die Folge auszuspalten also
= [mm] \bruch{(-3)^n*n^2}{4^n} [/mm] + [mm] \bruch{n}{4^n}
[/mm]
Zur Konvergenz von [mm] \bruch{n}{4^n}
[/mm]
Ich verwende das Sandwichkriterium:
Als sicher gilt, dass die Folge >0 ist. Also habe ich scon mal ne Untere Schranke.
Nun muss finde ich eine obere mit:
[mm] \bruch{n*n^2}{4^n*n^2} [/mm] < [mm] \bruch{n*4^n}{4^n*n^2} [/mm] = 1/n
von schritt 1 auf 2 verwende ich, dass [mm] 4^n> n^2
[/mm]
Nun habe ich 0< [mm] \bruch{n}{4^n} [/mm] < 1/n
Die SChranken konvergieren gegen 0. also gielt dies auch für [mm] \bruch{n}{4^n}
[/mm]
ist dies korrekt?
der zweite term bereitet mir Probleme.
mir wurde geraden ihn mit des BLS zu lösen. Leider komme ich mit diesem in dem Zusammenhang nicht zurecht.
bitte um Hilfe :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Nero08,
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> Folgende Aufgabebstellung:
> Berechnen SIe von der folgenden Folge alle
> Häufungspunkte:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(-3)^n*n^2 + n}{4^n}[/mm] =
>
> Meine Idee wäre es jetzt die Folge auszuspalten also
>
>
> = [mm]\bruch{(-3)^n*n^2}{4^n}[/mm] + [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
>
>
> Zur Konvergenz von [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
>
> Ich verwende das Sandwichkriterium:
>
> Als sicher gilt, dass die Folge >0 ist. Also habe ich scon
> mal ne Untere Schranke.
>
> Nun muss finde ich eine obere mit:
>
> [mm]\bruch{n*n^2}{4^n*n^2}[/mm] < [mm]\bruch{n*4^n}{4^n*n^2}[/mm] = 1/n
>
> von schritt 1 auf 2 verwende ich, dass [mm]4^n> n^2[/mm]
>
> Nun habe ich 0< [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm] < 1/n
>
> Die SChranken konvergieren gegen 0. also gielt dies auch
> für [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
>
> ist dies korrekt?
Unbedingt!
>
> der zweite term bereitet mir Probleme.
> mir wurde geraden ihn mit des BLS zu lösen. Leider komme
> ich mit diesem in dem Zusammenhang nicht zurecht.
Ich auch nicht. Was ist BLS?
Schreibe die Folgenglieder um in
[mm] $\left( -\frac 3 4 \right)^n [/mm] * [mm] n^2\,,$
[/mm]
und benutze [mm] $q^n [/mm] * [mm] n^2\to [/mm] 0$ für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo Nero08,
>
> >
> > Folgende Aufgabebstellung:
> > Berechnen SIe von der folgenden Folge alle
> > Häufungspunkte:
> >
> > [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(-3)^n*n^2 + n}{4^n}[/mm] =
> >
> > Meine Idee wäre es jetzt die Folge auszuspalten also
> >
> >
> > = [mm]\bruch{(-3)^n*n^2}{4^n}[/mm] + [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
> >
> >
> > Zur Konvergenz von [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
> >
> > Ich verwende das Sandwichkriterium:
> >
> > Als sicher gilt, dass die Folge >0 ist. Also habe ich scon
> > mal ne Untere Schranke.
> >
> > Nun muss finde ich eine obere mit:
> >
> > [mm]\bruch{n*n^2}{4^n*n^2}[/mm] < [mm]\bruch{n*4^n}{4^n*n^2}[/mm] = 1/n
> >
> > von schritt 1 auf 2 verwende ich, dass [mm]4^n> n^2[/mm]
> >
> > Nun habe ich 0< [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm] < 1/n
> >
> > Die SChranken konvergieren gegen 0. also gielt dies auch
> > für [mm]\bruch{n}{4^n}[/mm]
> >
> > ist dies korrekt?
>
> Unbedingt!
Cool ! :)
>
> >
> > der zweite term bereitet mir Probleme.
> > mir wurde geraden ihn mit des BLS zu lösen. Leider
> komme
> > ich mit diesem in dem Zusammenhang nicht zurecht.
>
> Ich auch nicht. Was ist BLS?
der Binomischelehrsatz
>
> Schreibe die Folgenglieder um in
>
> [mm]\left( -\frac 3 4 \right)^n * n^2\,,[/mm]
>
> und benutze [mm]q^n * n^2\to 0[/mm] für [mm]|q| < 1\,.[/mm]
okay an dies hätte ich auch schon gedacht. aber hier habe ich dann ja 0*unendlich und das ist ja nicht defeniert...
>
> Gruß,
> Wolfgang
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Nero08,
> > und benutze [mm]q^n * n^2\to 0[/mm] für [mm]|q| < 1\,.[/mm]
>
> okay an dies hätte ich auch schon gedacht. aber hier habe
> ich dann ja 0*unendlich und das ist ja nicht defeniert...
Richtig. Dies wäre zu beweisen! Habt Ihr das vielleicht in der Vorlesung schon gemacht?
Wenn nicht:
Es gibt $x>0$ mit [mm] $\frac [/mm] 1 {|q|} = 1+x$. Die binomische Formel liefert:
[mm] $(1+x)^n [/mm] > {n [mm] \choose [/mm] 3} * [mm] x^3\,.$
[/mm]
Es folgt [mm] $|q|^n [/mm] * [mm] n^2 [/mm] < [mm] \frac [/mm] {6 [mm] n^2} {(n-2)^3} \to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo Nero08,
hi!
> > > und benutze [mm]q^n * n^2\to 0[/mm] für [mm]|q| < 1\,.[/mm]
> >
> > okay an dies hätte ich auch schon gedacht. aber hier habe
> > ich dann ja 0*unendlich und das ist ja nicht defeniert...
>
> Richtig. Dies wäre zu beweisen! Habt Ihr das vielleicht in
> der Vorlesung schon gemacht?
>
> Wenn nicht:
>
> Es gibt [mm]x>0[/mm] mit [mm]\frac 1 {|q|} = 1+x[/mm]. Die binomische Formel
> liefert:
>
> [mm](1+x)^n > {n \choose 3} * x^3\,.[/mm]
bis hier ist klar...
>
diesen Schritt verstehe ich leider nicht:
> Es folgt [mm]|q|^n * n^2 < \frac {6 n^2} {(n-2)^3} \to 0[/mm] für
> [mm]n\to \infty[/mm].
wie kommst du auf die rechte Seite der Ungleichung?
>
> Gruß,
> Wolfgang
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo Nero08,
>
> hi!
> > > > und benutze [mm]q^n * n^2\to 0[/mm] für [mm]|q| < 1\,.[/mm]
> > >
> > > okay an dies hätte ich auch schon gedacht. aber hier habe
> > > ich dann ja 0*unendlich und das ist ja nicht defeniert...
> >
> > Richtig. Dies wäre zu beweisen! Habt Ihr das vielleicht in
> > der Vorlesung schon gemacht?
> >
> > Wenn nicht:
> >
> > Es gibt [mm]x>0[/mm] mit [mm]\frac 1 {|q|} = 1+x[/mm]. Die binomische Formel
> > liefert:
> >
> > [mm](1+x)^n > {n \choose 3} * x^3\,.[/mm]
> bis hier ist klar...
> >
> diesen Schritt verstehe ich leider nicht:
> > Es folgt [mm]|q|^n * n^2 < \frac {6 n^2} {(n-2)^3} \to 0[/mm]
> für
> > [mm]n\to \infty[/mm].
>
> wie kommst du auf die rechte Seite der Ungleichung?
Grobe Fehlabschätzung. Aber so sollte es für $n>2$ stimmen:
[mm] $|q|^n *n^2< [/mm] { 6 [mm] \over [/mm] n(n-1)(n-2) [mm] x^3} *n^2 [/mm] < {6 [mm] \over (n-2)^3 x^3} *n^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> > > Hallo Nero08,
> >
> > hi!
> > > > > und benutze [mm]q^n * n^2\to 0[/mm] für [mm]|q| < 1\,.[/mm]
> > >
> >
> > > > okay an dies hätte ich auch schon gedacht. aber hier habe
> > > > ich dann ja 0*unendlich und das ist ja nicht defeniert...
> > >
> > > Richtig. Dies wäre zu beweisen! Habt Ihr das vielleicht in
> > > der Vorlesung schon gemacht?
> > >
> > > Wenn nicht:
> > >
> > > Es gibt [mm]x>0[/mm] mit [mm]\frac 1 {|q|} = 1+x[/mm]. Die binomische Formel
> > > liefert:
> > >
> > > [mm](1+x)^n > {n \choose 3} * x^3\,.[/mm]
> > bis hier ist
> klar...
> > >
> > diesen Schritt verstehe ich leider nicht:
> > > Es folgt [mm]|q|^n * n^2 < \frac {6 n^2} {(n-2)^3} \to 0[/mm]
> > für
> > > [mm]n\to \infty[/mm].
> >
> > wie kommst du auf die rechte Seite der Ungleichung?
>
> Grobe Fehlabschätzung. Aber so sollte es für [mm]n>2[/mm]
> stimmen:
>
> [mm]|q|^n *n^2< { 6 \over n(n-1)(n-2) x^3} *n^2 < {6 \over (n-2)^3 x^3} *n^2\,.[/mm]
okay vorher hast auf [mm] x^3 [/mm] vergessen ? :)
aber das hat eh auf das konvergenzverhalten nicht wirklich einen EInflus...
Nochmal kurz zur abscghätzung:
[mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] hast du gewählt, weil [mm] (-3)^n [/mm] vorkommt?
also wenn ich [mm] 4^n [/mm] hätte würde ich [mm] \vektor{n \\ 4}x^4 [/mm] wählen?
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Nochmal kurz zur abscghätzung:
>
> [mm]\vektor{n \\ 3}[/mm] hast du gewählt, weil [mm](-3)^n[/mm] vorkommt?
>
> also wenn ich [mm]4^n[/mm] hätte würde ich [mm]\vektor{n \\ 4}x^4[/mm]
> wählen?
Nein. Sondern weil ich [mm] $n^2$ [/mm] wegkürzen will! Bei [mm] $n^k$ [/mm] hätte ich gegen ${n [mm] \choose k+1}x^{k+1}$ [/mm] abgeschätzt.
Gruß,
Wolfgang
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