Grenzwert der folgenden Aufgab < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert von
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{5n^2+n}-\wurzel{5n^2+7n}) [/mm] |
Ein wunderschönen guten Morgen.
Ich da ich mir sicher bin, das mein Ergebniss falsch ist, möchte ich euch bitten, mir auf den richtigen Weg zu helfen.
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{5n^2+n}-\wurzel{5n^2+7n}) [/mm] das ist die AUfgabe.
Das habe ich für den Hr. L´Hospital erst mal erweitert mit:
[mm] ((\wurzel{5n^2+n}+\wurzel{5n^2+7n})/((\wurzel{5n^2+n}+\wurzel{5n^2+7n})
[/mm]
Dann habe ich folgendes stehen.
[mm] (5n^2+n)-(5n^2+7n)/(\wurzel{5n^2+n}+\wurzel{5n^2+7n})
[/mm]
das ist ja,
[mm] -6n/(\wurzel{5n^2+n}+\wurzel{5n^2+7n})
[/mm]
das habe ich jetzt quadriert um die Wurzel wegzumachen, dann bleibt
[mm] 36n^2 [/mm] / [mm] (5n^2+n)+(5n^2+7n)
[/mm]
das ist
[mm] 36n^2 [/mm] / [mm] 10n^2+8n.
[/mm]
jetzt der L´Hospital
72n / 20n+8, dann nochmal,
bleibt
72 / 20 = 18/5
stimmt das ? wenn nicht, wo ist der Fehler?
Vielen Dank
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Hallo MadMax!
Die Idee mit dem Erweitern ist sehr gut. Allerdings fasst Du dann falsch zusammen im Zähler. Ich erhalte:
$$... \ = \ [mm] \bruch{n-7}{\wurzel{5n^2-n}+\wurzel{5n^2+7}}$$
[/mm]
Und nun ist das Quadrieren absolut falsch. Denn damit veränderst Du doch den Wert des Termes.
Zudem kommt man hier sehr gut ohne Herrn de l'Hospital aus.
Klammere im Nenner unter den Wurzeln jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus und dann insgesamt in Zähler und Nenner jeweils $n_$ und kürze ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
ja, ok, ausklammern ist gut.
Ich hab leider hinter der 7 das n vergessen, also müsste dann doch -6n rauskommen.
soll ich alles nochmal neu reinschreiben, oder kann man sich das vorstellen?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Di 05.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo MadMax!
Das geht schon so ... was erhältst Du denn nun als Grenzwert?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
weiss ich noch nicht. ich bin gerade heir.
-6n/ [mm] wurzel(5n^2+n)+wurzel(5n^2+7n). [/mm] dann klammere ich das [mm] n^2 [/mm] aus und erhalte
-6n/ [mm] (n^2*wurzel(5+1/n)+(n^2*wurzel(5+7/n))
[/mm]
dann kürze ich ein n weg
bleibt
-6/ (n*wurzel(5+1/n)+(n*wurzel(5+7/n))
so und jetzt bin ich am überlegen was ich machen muss
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Hallo MadMax!
Du hast hier noch ein $n_$ zuviel:
[mm] $$\wurzel{5n^2+n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2*\left(5+\bruch{1}{n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2}*\wurzel{5+\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] n^{\red{1}}*\wurzel{5+\bruch{1}{n}}$$
[/mm]
Analog für den anderen Wurzelterm.
Nach dem Kürzen dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow [/mm] n$ ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Hmmm, grummel grummel.
Mathe geht einfach schwer an mich.
Ich Danke dir für deine Mühe. Hast du evtl ICQ, falls ich (und das werde ich)
noch weitere Fragen habe?
Lösung ist -3/wurzel (5)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
falls du noch weitere Fragen haben solltest melde dich doch einfach hier im Forum. Hier sind eigentlich immer sehr viele Leute, die dir helfen könnten =)
Liebe Grüße,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Ok, ich wollte das nur nicht so "zuspammen" hier.
By the way, hab auch schon die nächste Frage.
Lim n-> unendlich [mm] (7n+5)/wurzel(3n^2+7n-11)
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] ausgeklammert, dann bleibt.
[mm] (7n+5)/n*wurzel(3+7/n+11/n^2)
[/mm]
7/n und [mm] 11/n^2 [/mm] sind ja praktisch null, also bleibt.
(7n+5)/n*wurzel (3)
wie geht es weiter?
kürzen darf ich nicht.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
stell doch nächstes mal einen neuen Thread für ein neues Thema. Du spamst uns damit nicht zu, das ist kein Problem, dafür sind wir doch da.
Okay, deine Umforumung zu [mm] \frac{7n+5}{n\sqrt{3+7/n+11/n^2}} [/mm] ist okay.
Dann kannst du Zähler und Nenner durch n teilen. Warum darfst du denn nicht kürzen? Wenn du im Zähler ein n ausklammerst, dann schaut es doch im Zähler so aus: 7n+5=n(7+5/n), dann kannst du mit n kürzen und du siehst das Ergebnis sofort.
Das ist immer ein Trick wie man bei solchen Brüchen weiterkommt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Di 05.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo MadMax!
Auch wenn Du hier quadrieren dürftest, hast Du im Nenner völlig falsch gerechnet, da Du die binomische Formeln völlig missachtest.
Denn: [mm] $(a+b)^2 [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] a^2+b^2$ [/mm] !!!
Gruß vom
Roadrunner
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