Grenzwert des Flächeninhalts < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 17.09.2007 | | Autor: | fric |
| Aufgabe | W. Sierpinksi stellte folgende Folge auf:
Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks sei 1cm. Bei den folgenden Folgen gliedern wird 1/4 des Flächeninhalts abgezogen.
[mm] a(n)=\bruch{\wurzel{3}}{4} \* (\bruch{3}{4})^n
[/mm]
.
Weisen Sie anhand der Definition des Grenzwerts von Folgen nach, dass die Folge der Flächeninhalte a(n) den Grenzwert 0 hat |
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Hallo, da ich ja die Defintion des Grenzwerts anwenden muss, kann ich das ja nicht mit dem Grenzwertsätzen beweisen:
MUss ich das irgendwie mit dieser [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung beweisen?
Ich hätte das sonst nämlich so gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{3} [/mm] / [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4 [mm] \* \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{3}{4})^n
[/mm]
= [mm] \wurzel{3} \* [/mm] 4 [mm] \* [/mm] 0
= 0
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo fric,
ja, die Hampelei mit $\varepsilon$ und $n_0$ bleibt dir wohl kaum erspart, wenn du's explizit mit der Definition zeigen sollst:
die lautet ja $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\gdw\forall\varepsilon>0\exists n_0\in\IN\forall n\ge n_0:|a_n-a|<\varepsilon$
Schätze also hier $\left|\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot{}\left(\frac{3}{4}\right)^n-0\right|=\left|\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot{}\left(\frac{3}{4}\right)^n\right| ab und bastel dir zu vorgegebenem beliebigen $\varepsilon>0$ dein $n_0$
Also $\left|\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot{}\left(\frac{3}{4}\right)^n\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot{}\left(\frac{3}{4}\right)^n\overset{!}{<}\varepsilon$
Dann löse das mal schön nach n auf - Viel Spaß 
LG
schachuzipus
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