Grenzwert des Kettenbruchs < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben sei die konvergente Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_{1}=1,
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}, a_{3}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}}, a_{4}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}}}
[/mm]
Berechnen Sie den Grenzwert dieses Kettenbruchs. |
Ich habe die Folge soweit untersucht und habe festgestellt, dass sie gegen 0 läuft. Könnte mir jemand ein Tipp geben wie ich das beweisen kann ?
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Hallo,
> Gegeben sei die konvergente Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_{1}=1,[/mm]
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}, a_{3}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}}, a_{4}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}}}[/mm]
>
> Berechnen Sie den Grenzwert dieses Kettenbruchs.
> Ich habe die Folge soweit untersucht und habe
> festgestellt, dass sie gegen 0 läuft. Könnte mir jemand
> ein Tipp geben wie ich das beweisen kann ?
Schreibe mal hin was du so untersucht hast / wie du darauf gekommen bist.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Da dier letzte Bruch ( [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{2}} [/mm] bzw [mm] a_{2} [/mm] im Nenner > 0 sind wird der Burch < 1 und da es bei den Operationen +1 und /1 die Glieder immer kleiner werden.
Doch nach dem probieren sehe ich, dass die Folge gegen 0,6 läuft...
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> Da dier letzte Bruch ( [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}[/mm] bzw [mm]a_{2}[/mm]
> im Nenner > 0 sind wird der Burch < 1 und da es bei den
> Operationen +1 und /1 die Glieder immer kleiner werden.
Guten Abend !
Eine Folge [mm] [/mm] , die ein positives Glied [mm] a_1 [/mm] hat und deren
Glieder danach "immer kleiner werden" , muss noch keineswegs
eine Nullfolge sein.
An mir selber habe ich zum Beispiel festgestellt, dass
meine Körpergröße (in cm gemessen) seit ungefähr 15
Jahren (leicht) abnehmend ist. Ich rechne allerdings
nicht damit, auf die Länge 0 zusammenzuschrumpfen
(allerdings gehe ich auch nicht davon aus, dass die
Folge meiner Jahre unbegrenzt ist ...).
> Doch nach dem probieren sehe ich, dass die Folge gegen 0,6
> läuft...
Das wäre ein guter Grund, etwas genauer zu unter-
suchen, wie sich die beschriebene Folge von Brüchen
tatsächlich verhält.
Ich würde dir sehr empfehlen, die einzelnen Brüche
dieser Folge zu betrachten und für ihre Berechnung eine
rekursive Beschreibung zu entwickeln. Für die Bestimmung
eines allfälligen Grenzwerts kann dies jedenfalls sehr
hilfreich sein !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Ist die Formel [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+a_{n-1}} [/mm] richtig ?
Konnte mir jemand weiter helfen ?
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> Ist die Formel [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+a_{n-1}}[/mm] richtig ?
Sie scheint so gemeint zu sein - allerdings gilt sie
für n=2 noch gar nicht (nachrechnen !) , sondern erst
(wie man vermuten kann) ab n=3 .
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Man kann hat schreiben [mm] a_{n}=\bruch{1}{1+a_{n-1}} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 3
Ist [mm] n=\bruch{1}{1+n} [/mm] auch richtig ?
Und wie soll ich das weiter beweisen ? Man sieht, dass der Term immer kleiner wird aber ich komme nicht auf den richtigen Grenzwert..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Di 04.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo rsprsp,
> Man kann hat schreiben [mm]a_{n}=\bruch{1}{1+a_{n-1}}[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 3
Richtig.
> Ist [mm]n=\bruch{1}{1+n}[/mm] auch richtig ?
Das ist nun der richtige Ansatz, aber leider unbegründet. Bei re-
kursiven Folgen ist es üblich anzunehmen, dass die Konvergenz der
Folge vorausgesetzt ist um eine Behauptung aufzustellen. Genauer:
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge. Wir nehmen an, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert. Also:
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a\text{ bzw. }\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=a.
[/mm]
Dann stellen wir die rekursive Folge um und erhalten für den Grenz-
wert [mm] $a\$ [/mm] eine Behauptung, die dann noch zu zeigen ist. In der Regel
zeigt man dann die Konvergenz der rekursiven Folge durch die Be-
schränktheit und der Monotonie (Wieso?). Danach ist es einfach,
denn wir wissen, dass die Folge konvergiert und müssen nur noch
den Grenzwert beweisen. Das ist dann meistens ziemlich einfach.
Hier ist uns allerdings in der Aufgabenstellung die Konvergenz
geschenkt, so dass wir diese dankend annehmen können. Dennoch
solltest du dir obiges Verfahren gut merken. (Achtung: Es reicht
nicht aus bei rekursiven Folgen nur den Grenzwert nach obigem
Schema "auszurechnen" und davon auszugehen, dass dann die Folge
konvergiert. Als Gegenbeispiel betrachte [mm] a_{n+1}:=a_n^2.)
[/mm]
Jedenfalls muss hier dann folgendes gelten:
[mm] a\overset{!}{=}\frac{1}{1+a} [/mm] mit [mm] $a\not=-1$.
[/mm]
(Ich würde hier [mm] $n\$ [/mm] als Variable vermeiden (Wieso?).)
Wir erhalten demnach
[mm] a_{1/2}=\frac{-1\mp\sqrt{5}}{2} [/mm] (Nachrechnen(!)),
wobei uns eigentlich nur noch
[mm] $a_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx [/mm] 0.618$
interessiert (Wieso?).
> Und wie soll ich das weiter beweisen ? Man sieht, dass der
> Term immer kleiner wird aber ich komme nicht auf den
> richtigen Grenzwert..
Die genaue Begründung überlasse ich an dieser Stelle dir.
Gruß
DieAcht
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Tipp: Wenn du alle unendlich vielen Glieder hingeschrieben hättest, dann sähe doch
x = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+...}}}
[/mm]
genau so aus wie
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] .
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diese Voraussetzung ist wohl unerfüllbar - soll man
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
