Grenzwert einer Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Funktionen, falls er existiert, oder zeigen Sie, dass er nicht existiert:
a)f(x,y) = [mm] \frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2}
[/mm]
b)g(x,y) = [mm] \frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}
[/mm]
c)h(x,y) = [mm] |x|^y [/mm] |
Hey,
fange mal mit der b) an.
Wir hatten sowas ähnliches in der Übung, und habe dabei die Ungleichung [mm] \frac{|ab|}{a^2 +b^2} \le [/mm] 0,5 benutzt.
g(x,y) = [mm] \frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|}
[/mm]
Sandwisch-Theorem:
[mm] 0\le frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|} \le 0,5\wurzel{|xy|} [/mm] ----> 0 , (x,y) ---> (0,0)
=> was habe ich hier gezeigt? Doch nur das g(x,y) in (0,0) stetig ist, oder? hmm..
Majorante:
g(x,y) = [mm] \frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{x^2 +y^2}\le 0,5\wurzel{|xy|} [/mm] ----> 0,5 , (x,y) ---> [mm] (\infty)
[/mm]
=> somit konvergiert schon mal g(x,y)
g(x,y) = [mm] \frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|} [/mm] = [mm] \frac{1}{|\frac{x}{y}| + |\frac{y}{x}|}\wurzel{|xy|} [/mm] ----> 1 , (x,y) [mm] --->\infty
[/mm]
Da bin ich mal gespannt, was hiervon ansatzweise richtig ist...
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Funktionen, falls er
> existiert, oder zeigen Sie, dass er nicht existiert:
Ohne die Angabe der Stelle ist die Aufgabe sinnlos!
>
> a)f(x,y) = [mm]\frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2}[/mm]
> b)g(x,y) =
> [mm]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}[/mm]
> c)h(x,y) = [mm]|x|^y[/mm]
> Hey,
>
> fange mal mit der b) an.
>
> Wir hatten sowas ähnliches in der Übung, und habe dabei
> die Ungleichung [mm]\frac{|ab|}{a^2 +b^2} \le[/mm] 0,5 benutzt.
>
> g(x,y) = [mm]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}[/mm] =
> [mm]\frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|}[/mm]
> Sandwisch-Theorem:
> [mm]0\le frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}[/mm] = [mm]\frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|} \le 0,5\wurzel{|xy|}[/mm]
> ----> 0 , (x,y) ---> (0,0) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> => was habe ich hier gezeigt? Doch nur das g(x,y) in (0,0)
> stetig ist, oder? hmm..
Die Funktion $g$ ja so, wie sie oben steht, für alle [mm] $(x,y)\neq [/mm] (0,0)$ definiert und als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Nun hast du gezeigt, dass sie durch die Festsetzung $g(0,0):=0$ in $(x.y)=(0,0)$ stetig ergänzt werden kann.
Alternativ könntest du zu Polarkoordinaten übergehen [mm] $x=r\cdot{}\cos(\varphi), y=r\cdot{}\sin(\varphi)$ [/mm] mit $r>0$ und [mm] $\varphi\in(0,2\pi]$ [/mm] und zeigen, dass der [mm] $\lim\limits_{r\downarrow 0}f(r,\varphi)$ [/mm] unabhängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] gegen 0 strebt.
> Majorante:
> g(x,y) = [mm]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}[/mm] =
> [mm]\frac{|xy|}{x^2 +y^2}\le 0,5\wurzel{|xy|}[/mm] ----> 0,5 , (x,y)
> ---> [mm](\infty)[/mm]
> => somit konvergiert schon mal g(x,y)
>
> g(x,y) = [mm]\frac{|xy|^{\frac{3}{2}}}{x^2 + y^2}[/mm] =
> [mm]\frac{|xy|}{x^2 +y^2} \wurzel{|xy|}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{|\frac{x}{y}| + |\frac{y}{x}|}\wurzel{|xy|}[/mm] ---->
> 1 , (x,y) [mm]--->\infty[/mm]
Wozu der ganze Rest mit der Majorante?
>
> Da bin ich mal gespannt, was hiervon ansatzweise richtig
> ist...
Gruß
schachuzipus
> Snafu
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Hi,
mist merke gerade, dass die Teilaufgabe mit der davor zusammen hängt...sry!
Grenzwerte sollen für
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\limes_{y\rightarrow0} [/mm] f(x,y)) , [mm] \limes_{y\rightarrow0}((\limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x,y)) , [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(x,y)
bestimmt werden....man peinlich....
was muss ich den bei [mm] \limes_{x\rightarrow0}(\limes_{y\rightarrow0} [/mm] f(x,y)) machen, immer einzeln nach einander die Variablen gegen Null laufen lasse?
das wäre bei b)
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\limes_{y\rightarrow0} [/mm] b(x,y)) = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \frac{0}{x^2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{y\rightarrow0}((\limes_{x\rightarrow0} [/mm] b(x,y)) = [mm] \limes_{x\rightarrow0} \frac{0}{y^2} [/mm] = 0 ,oder? denn egal ob x oder y gegen Null läuft der Zähler wird immer Null ergeben.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] b(x,y) : hier wäre ja eine Definitionslücke, und dafür habe ich ja oben gezeigt, dass es bei (0,0) stetig ist , und gegen Null konvergiert.
Snafu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 26.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hey,
hab mich mal an die c) [mm] getraut:|x|^y
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0} |x|^y [/mm] ) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1 = 1
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0} |x|^y [/mm] ) = [mm] \limes_{y\rightarrow 0} 0^y [/mm] = 0
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} |x|^y [/mm] = 0
und die a)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}\frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2} [/mm] ) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x^2 )}{x^2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2} [/mm] ) = [mm] \limes_{y\rightarrow 0} \frac{sin(- y)}{y^2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2} [/mm] = 0
ist das so einfach gedacht, wie ich es bearbeitet habe?
Snafu
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Hallo SnafuBernd!
> und die a)
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}\frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2}[/mm]) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x^2 )}{x^2}[/mm] = 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der Grenzwert stimmt nicht!
Du solltest [mm] $\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] kennen!
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x^2 - y)}{x^2 + y^2}[/mm]) = [mm]\limes_{y\rightarrow 0} \frac{sin(- y)}{y^2}[/mm] = 0
Das stimmt, auch wenn die Begründung fehlt.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo SnafuBernd!
> hab mich mal an die c) [mm]getraut:|x|^y[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0} |x|^y[/mm] ) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 1 = 1
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}(\limes_{x\rightarrow 0} |x|^y[/mm] ) = [mm]\limes_{y\rightarrow 0} 0^y[/mm] = 0
[mm] $0^0$ [/mm] ist mir bekannt als $1_$ . Aber auch das nur als singulärer Punkt.
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} |x|^y[/mm] = 0
Wenn Du hier zwei verschiedene Werte erhältst: warum hast Du dann plötzlich einen eindeutigen Grenzwert?
Gruß vom
Roadrunner
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