Grenzwert einer Fkt. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 13.12.2012 | | Autor: | Caro1512 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}}
[/mm]
X strebt allerdings nicht gegen $ [mm] \infty [/mm] $, sondern gegen $ [mm] 0^{+}!!! [/mm] $ |
Hey, könnt Ihr mir sagen, wie ich den Grenzwert ermitteln kann? Ich habe überhaupt keine Ideen.
LG Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Caro,
> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> X strebt allerdings nicht gegen [mm]\infty [/mm], sondern gegen 0
du möchtest also
[mm]\limes_{x\rightarrow{0}}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}} [/mm]
berechnen?
Das läuft ja zunächst auf einen Ausdruck der Form 0/0 heraus. Es kommt jetzt ein wenig darauf an, welche Methoden dir zur Verfügung stehen. Am einfachsten wäre sicherlich die einmalige Anwendung der Regel von de l'Hospital. Habt ihr die schon durchgenommen?
Ansonsten könnte man es über Potenzreihen machen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 13.12.2012 | | Autor: | Caro1512 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}} [/mm]
X strebt allerdings nicht gegen [mm] \infty [/mm] , sondern gegen [mm] 0^{+}!!! [/mm] |
Hey, danke für die schnelle Antwort. Soweit ich weiß, hatten wir die Regel von L´ Hospital noch nicht. Wie funktioniert die denn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 13.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> X strebt allerdings nicht gegen [mm]\infty[/mm] , sondern gegen
> [mm]0^{+}!!![/mm]
> Hey, danke für die schnelle Antwort. Soweit ich weiß,
> hatten wir die Regel von L´ Hospital noch nicht. Wie
> funktioniert die denn?
wenn Du die wirklich anwenden willst, würde ich sie auch nicht direkt
anwenden:
Marius hat ja bereits benutzt
[mm] $$\sin(x)/\sqrt{x}=\sqrt{x}*\sin(x)/\sqrt{x}^2=\sqrt{x}*\sin(x)/x\,,$$
[/mm]
und nun kannst Du etwa mit de l'Hospital schnell zeigen, dass [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$
sogar bei $x [mm] \to 0\,,$ [/mm] also gilt insbesondere [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$ bei $x [mm] \to 0^+\,.$
[/mm]
Damit folgt dann
[mm] $$\lim_{x \to 0^+}(\sin(x)/\sqrt{x})=(\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x})*\lim_{x \to 0^+}(\sin(x)/x)=\sqrt{0}*1=0*1=0\,.$$
[/mm]
P.S. Natürlich ist's auch nicht verkehrt, direkt de l'Hospital zu verwenden:
[mm] $$\lim_{x \to 0^+} (\sin(x)/\sqrt{x})=\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x)}{\frac{1}{2*\sqrt{x}}}=\lim_{x \to 0^+} (2*\sqrt{x}*\cos(x))=2*(\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x})*\lim_{x \to 0^+} \cos(x)=2*\sqrt{0}*\cos(0)=2*0*1=0\,.$$
[/mm]
P.P.S. Übrigens ist das gar nicht so selten, dass jemand
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$
[/mm]
gemäß de l'Hospital so berechnet, wenn $f(x) [mm] \to [/mm] f(0)$ bei $x [mm] \to [/mm] 0$
(Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$) [/mm] gilt:
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}==\lim_{x \to 0} \frac{f\,'(x)}{1}=\lim_{x \to 0}f\;'(x)\,.$$
[/mm]
Natürlich bedarf es dafür der Existenz des Grenzwertes rechterhand [mm] $\text{(}$die [/mm]
etwa gegeben ist, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] definiert ist und [mm] $f\,'$ [/mm]
stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] ist, denn UNTER DIESEN ZUSATZVORAUSSETZUNGEN
folgt dann einfach
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}f\;'(x)=f\,'(0)\,.\text{)}$$
[/mm]
So hatte etwa Fred mich schonmal darauf hingewiesen, dass man doch,
um
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$$
[/mm]
einzusehen, nun nicht wirklich de l'Hospital braucht, sondern dass da doch
nichts anderes steht als
[mm] $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^0}{x-0}=1\,,$$
[/mm]
was wegen [mm] $\exp\,'(0)=\exp(0)=1$ [/mm] klar ist! (Natürlich kann man [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$
[/mm]
auch etwa mit der Reihendarstellung von [mm] $e^x=\exp(x)$ [/mm] einsehen!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Do 13.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> X strebt allerdings nicht gegen [mm]\infty [/mm], sondern gegen
> [mm]0^{+}!!![/mm]
> Hey, könnt Ihr mir sagen, wie ich den Grenzwert ermitteln
> kann? Ich habe überhaupt keine Ideen.
> LG Caro
Eine Alternative zu Diophants Lösung:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{\wurzel{x}}$
[/mm]
Erweitere mit [mm] \sqrt{x}, [/mm] dann bekommst du:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)\cdot\sqrt{x}}{x}$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}
[/mm]
Und das ist gerade die Definition der Ableitung des Sinus an der Stelle 0, also
[mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\cos(0)=1
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Do 13.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
das ist ein wirklich sehr eleganter Ansatz, der ist abgespeichert. 
Allerdings sollte es im Zähler
sin(x)-sin(0)
lauten (auch wenn das rechnerisch auf das gleiche hinausläuft).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Do 13.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> das ist ein wirklich sehr eleganter Ansatz, der ist
> abgespeichert.
>
> Allerdings sollte es im Zähler
>
> sin(x)-sin(0)
>
> lauten (auch wenn das rechnerisch auf das gleiche
> hinausläuft).
Oh ja, das habe ich gerde geändert, danke für den Hinweis.
>
>
> Gruß, Diophant
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 13.12.2012 | | Autor: | Caro1512 |
Danke. Ich habe die Rechnung größten Teils verstanden. Ich frage mich nur, wo die [mm] \wurzel{x} [/mm] geblieben ist.
|
|
|
| |
|
Hallo Caro!
Wie oben erwähnt wurde Dein Term zunächst mit [mm]\wurzel{x}[/mm] erweitert. Anschließend werden beide Grenzwerte gemäß den Grenzwertsätzen separat betrachtet:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{\wurzel{x}} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)*\wurzel{x}}{\wurzel{x}*\wurzel{x}} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)*\wurzel{x}}{x} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\left[\bruch{\sin(x)}{x}*\wurzel{x}\right] \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}*\limes_{x\rightarrow 0}\wurzel{x}[/mm]
Und obige Berechnung behandelt nun den ersten Teil. Den zweiten Teil mit [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\wurzel{x}[/mm] bekommst Du doch bestimmt selber hin, oder?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Do 13.12.2012 | | Autor: | Caro1512 |
Aha, danke. Jetzt ist alles klar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Do 13.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
alternativ kann man benutzen, dass gilt:
[mm] $$\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k *x^{2k+1}}{(2k+1)!}\,.$$
[/mm]
Nun kann man, weil für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] jede Folge [mm] $(x^{2k+1}/(2k+1)!)_{k \in \IN}$
[/mm]
monoton fallend ist, wenn man Lust hat, sicher Überlegungen anstellen,
die analog zum Beweis des Leibnizkriteriums gehen...
Aber wir machen das hier anders:
Aus der Reihendarstellung folgt für jedes $x > [mm] 0\,$
[/mm]
[mm] $$|\sin(x)/\sqrt{x}|=\left|\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k *x^{2k+\red{1/2}}}{(2k+1)!}\right|=\left|\sqrt{x}*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k *x^{2k}}{(2k+1)!}\right|\le \sqrt{x}*\sum_{k=0}^\infty x^k/(2k+1)!\,,$$
[/mm]
und damit ist man eigentlich fertig, weil die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k/(2k+1)!$
[/mm]
für jedes $x > [mm] 0\,$ [/mm] konvergiert (warum?), damit $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^\infty x^k/(2k+1)!$
[/mm]
eine wohldefinierte Abbildung auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist, die (auf [mm] $(0,\infty)$) [/mm]
zudem monoton fallend ist - insbesondere beschränkt etwa auf [mm] $(0,1]\,.$
[/mm]
Oder Du überlegst es Dir so: Für alle $|x| [mm] \le [/mm] 1$ gilt
[mm] $$|\sin(x)/\sqrt{x}| \le \sqrt{x}*\sum_{k=0}^\infty 1^k/(2k+1)!$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$oder, [/mm] was Du Dir damit wegen [mm] $e=\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/k!$ auch überlegen kannst:
[mm] $$|\sin(x)/\sqrt{x}| \le \sqrt{x}*e\text{)}$$
[/mm]
und es folgt sodann
[mm] $$\lim_{x \to 0^+} (\sin(x)/\sqrt{x})=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
Regel von l'Hospital in der Mathebank![[]](/images/popup.gif){kind=small}
l'Hospital bei Nibis