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Grenzwert einer Folge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Sa 02.05.2015
Autor: Manu3911

Aufgabe
Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] $y_n=(1-\bruch{1}{7n})^{n+2}. [/mm]

Hallo,

mir fehlt der letzte, schwerere Schritt bei dieser Grenzwertberechnung.
Was ich habe ist:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{7n}=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^2=1$ [/mm]
Aber wie berechne ich den Grenzwert von [mm] $\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^n$? [/mm]
Ich hab den Term umgeformt in [mm] $(\bruch{7n-1}{7n})^n$, [/mm] aber da bleibe ich stecken, mir fällt keine weitere Umformung ein, wo ich den Grenzwert jetzt "besser sehen" könnte.

Vielen Dank!

Gruß Manu

        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Sa 02.05.2015
Autor: DieAcht

Hallo Manu!


Was weißt du über die Exponentialfunktion? ;-)


Gruß
DieAcht

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Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Sa 02.05.2015
Autor: Thomas_Aut

In diesem Moment wollte ich schreiben:

Was weißt du über den Grenzwert

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})^n$ [/mm]

lg

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Sa 02.05.2015
Autor: Manu3911

Hallo,

der Grenzwert davon ist [mm] e^{-1}, [/mm] soweit ich informiert bin.

Gruß Manu

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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Sa 02.05.2015
Autor: Manu3911

Hallo,

ich weiß leider nicht genau, worauf du hinaus willst. Vllt, dass die Log-Fkt. die Umkehrfunktion ist?
Sonst weiß ich nur, dass die Exponentialfunktion exponentiell wächst :D
Aber mehr fällt mir leider gerad nicht ein.

Gruß Manu

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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Sa 02.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du solltest wissen, dass gilt:

[mm] $e^{-1} [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^k$ [/mm]

ohne dieses Wissen ist die Aufgabe nicht zu lösen.
Daher gehe ich mal davon aus, dass du das wissen sollltest!

Forme also so um, dass du einen Ausdruck obiger Form erhälst mit $k=7n$

Gruß,
Gono

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Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Sa 02.05.2015
Autor: Marcel

Hallo Gono,

> Hiho,
>  
> du solltest wissen, dass gilt:
>  
> [mm]e^{-1} = \lim_{k\to\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^k[/mm]
>  
> ohne dieses Wissen ist die Aufgabe nicht zu lösen.

na, okay, man muss sich dieses Wissen eventuell herleiten mit dem Wissen,
dass [mm] $(1+1/n)^n \to [/mm] e$ - folgende Umformungen helfen:

    [mm] $(1-1/k)^k=(\tfrac{k-1}{k})^k=\left(\frac{1}{\frac{k}{k-1}}\right)^k=\left(\frac{1}{\tfrac{k-1+1}{k-1}}\right)^k=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{k-1}}*\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k-1}\right)}$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Sa 02.05.2015
Autor: DieAcht

Wegen

      [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm]

ist

      [mm] $y_n=\left(1-\frac{1}{7n}\right)^{n+2}\overset{z:=-\frac{1}{7}}{=}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n}*\left(1+\frac{z}{n}\right)*\left(1+\frac{z}{n}\right)\overset{\text{Grenzwertsatz}}{\to} e^z*1*1=e^{-\frac{1}{7}}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$. [/mm]



Bezug
        
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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Sa 02.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Aber wie berechne ich den Grenzwert von [mm]\lim_{n \to \infty} (1-\bruch{1}{7n})^n[/mm]?

es gilt

    [mm] $(1-\frac{1}{7n})^n=\sqrt[7]{(1-\frac{1}{7n})^{\red{7}n}}$ [/mm]

Jetzt nutze Gonos Hinweis und die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt[7]{x}$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$).

P.S. Weitere Erinnerung: Konvergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,,$ [/mm] so konvergiert auch
jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 02.05.2015
Autor: Manu3911

Hallo,

vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also [mm] $\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}$ [/mm] war mir bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme, war mir unklar.
Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
[mm] $(1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}$ [/mm] und wenn ich jetzt k=7n setze habe ich [mm] $\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}$ [/mm] und der Grenzwert dafür ist dann [mm] $\wurzel[7]{e^{-1}}$. [/mm]
Ist das so korrekt?

Vielen Dank!

Gruß Manu

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Sa 02.05.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also
> [mm]\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}[/mm] war mir
> bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme,
> war mir unklar.
>  Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
>  [mm](1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}[/mm] und
> wenn ich jetzt k=7n setze habe ich
> [mm]\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}[/mm] und der Grenzwert dafür
> ist dann [mm]\wurzel[7]{e^{-1}}[/mm].
> Ist das so korrekt?

Ja

FRED

>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß Manu


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Sa 02.05.2015
Autor: Marcel

Hallo Manu,

> Hallo,
>  
> vielen Dank erstmal für die ausführlichen Hinweise. Also
> [mm]\lim_{k \to \infty} (1-\bruch{1}{k})^k=e^{-1}[/mm] war mir
> bekannt, aber wie ich meine gegebene Aufgabe so umforme,
> war mir unklar.
>  Dank eurer Hilfe hab ichs jetzt, denk ich:
>  [mm](1-\bruch{1}{7n})^n=\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{7n})^{7n}}[/mm] und
> wenn ich jetzt k=7n setze habe ich
> [mm]\wurzel[7]{(1-\bruch{1}{k})^{k}}[/mm] und der Grenzwert dafür
> ist dann [mm]\wurzel[7]{e^{-1}}[/mm].
> Ist das so korrekt?

ich würde aber ein bisschen aufpassen, wie ich argumentiere: Weil [mm] $((1-1/n)^n)_n$ [/mm] gegen
[mm] $1/e=e^{-1}$ [/mm] strebt, strebt auch

    [mm] $((1-1/(7k))^{7k})_k$ [/mm]

(wenn Du eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hast, ist dass die Teilfolge [mm] $(a_{7k})_k$...) [/mm]
gegen $1/e$ (daher der Hinweis mit der Teilfolge).

Wegen

    [mm] $(1-1/(7n))^n=\sqrt[7]{(1-1/(7n))^{7n}}$ [/mm]

und der Stetigkeit "der [mm] $\sqrt[7]{\cdot}$-Funktion" [/mm] folgt...

Gruß,
  Marcel

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