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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert einer Folge
Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert einer Folge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 So 24.07.2016
Autor: phifre

Aufgabe
Man untersuche, ob der Grenzwert
$$ [mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)$$ [/mm]
existiert und berechne ihn gegebenenfalls.


Hallo!

Ich komme leider nicht auf den Grenzwert. Beschränkt ist die Folge auf jeden Fall, da wir die Abschätzung
[mm] $$\sqrt[n]{n} \leq 1+\frac{2}{\sqrt{n}}$$ [/mm]
hatten und damit ist dann
[mm] $$0\leq\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)\leq [/mm] 2. $$
Allerdings schaffe ich es nicht Monotonie o.ä. nachzuweisen und haben auch keinen Grenzwert. (Der aber vermutlich 0 sein müsste.)

Besten Dank für Hinweise!

        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 17:13 So 24.07.2016
Autor: searcher62


> Man untersuche, ob der Grenzwert
>  [mm]\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)[/mm]
>  existiert und berechne ihn gegebenenfalls.
>  
> Ich komme leider nicht auf den Grenzwert. Beschränkt ist
> die Folge auf jeden Fall, da wir die Abschätzung
> [mm]\sqrt[n]{n} \leq 1+\frac{2}{\sqrt{n}}[/mm]
>  hatten und damit ist
> dann
> [mm]0\leq\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)\leq 2.[/mm]
>  Allerdings schaffe ich
> es nicht Monotonie o.ä. nachzuweisen und haben auch keinen
> Grenzwert. (Der aber vermutlich 0 sein müsste.)
>  
> Besten Dank für Hinweise!

Hallo!

Sowohl für [mm] {n\to+\infty} [/mm] als auch für [mm] {n\to-\infty} [/mm] existiert der Limes.

[mm]\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0[/mm]

[mm]\lim_{n\to-\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0[/mm]

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 So 24.07.2016
Autor: phifre

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist ja erstmal garnicht definiert. Ist für die Aufgabe aber ja auch garnicht relevant.

Wie kommt man auf
[mm] $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0$$ [/mm]
?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 So 24.07.2016
Autor: ErikErik

Hallo,
Du kannst einige Tricks anwenden, um den Term zu vereinfachen. Ich würde ausmultiplizieren und die n-te Wurzel als Hochzahl 1/n schreiben. Das vereinfacht den Term, löst aber das Hauptproblem noch nicht. HauptFrage ist ja, was die n-te Wurzel aus n im Unendlichen macht. Ich habe die Lösung hier gefunden:
http://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html#nWn
Für den Beweis verwenden sie die Logarithmusfunktion.
Viele Grüße, Erik

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 So 24.07.2016
Autor: phifre

Wenn ich ausmultipliziere hab ich
[mm] $$\sqrt{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} [/mm] - [mm] \sqrt{n}$$ [/mm]
stehen.
Jetzt kann ich doch aber nicht erst nur [mm] $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}}=1$ [/mm] benutzen um das ganze dann in
[mm] $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} [/mm] - [mm] \sqrt{n} [/mm] = [mm] \sqrt{n}-\sqrt{n} [/mm] = 0 $$
umzuformen, oder? Die anderen Grenzwerte müssen doch gleichzeitig auch mit berücksichtigt werden.. Das ist ja gerade das Problem beim Ursprungsterm
[mm] $$\underbrace{\sqrt{n}}_{\to \infty}(\underbrace{\sqrt[n]{n}-1}_{\to 0})$$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Mo 25.07.2016
Autor: Leopold_Gast

Man setzt

[mm]\varepsilon_n = \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt[n]{n} - 1 \right) \, , \ \ n \geq 1[/mm]

und formt um:

[mm]\sqrt[n]{n} = 1 + \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}}[/mm]

Für [mm]n \geq 3[/mm] folgt mit dem binomischen Lehrsatz:

[mm]n = \left( 1 + \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^n = 1 + \sqrt{n} \cdot \varepsilon_n + \frac{1}{2} (n-1) \cdot {\varepsilon_n}^2 + \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3 + \ldots \geq \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3[/mm]

Jetzt löse die Ungleichung [mm]\frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3 \leq n[/mm] nach [mm]\varepsilon_n[/mm] auf.

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 25.07.2016
Autor: phifre

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Vielen Dank für die Antwort!

Es gilt doch aber
$$\left(1+\frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}}}\right)^n = 1+\sqrt{n}\varepsilon_n+\frac{1}{2}\sqrt{n}(n-1)\varepsilon_n^2+\frac{1}{6}\sqrt{n}(n-1)(n-2)\varepsilon_n^3+\ldots$$
oder hab ich mich vertan?
Damit lässt sich trotzdem Deine Umformung machen.

Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 25.07.2016
Autor: Leopold_Gast

[mm]\left( \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^2 = \frac{{\varepsilon_n}^2}{n} \, , \ \ \left( \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^3 = \frac{{\varepsilon_n}^3}{n \sqrt{n}}[/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mo 25.07.2016
Autor: phifre

Stimmt! Hast recht.

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