Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 So 24.07.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Man untersuche, ob der Grenzwert
$$ [mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)$$
[/mm]
existiert und berechne ihn gegebenenfalls. |
Hallo!
Ich komme leider nicht auf den Grenzwert. Beschränkt ist die Folge auf jeden Fall, da wir die Abschätzung
[mm] $$\sqrt[n]{n} \leq 1+\frac{2}{\sqrt{n}}$$
[/mm]
hatten und damit ist dann
[mm] $$0\leq\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)\leq [/mm] 2. $$
Allerdings schaffe ich es nicht Monotonie o.ä. nachzuweisen und haben auch keinen Grenzwert. (Der aber vermutlich 0 sein müsste.)
Besten Dank für Hinweise!
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:13 So 24.07.2016 | | Autor: | searcher62 |
> Man untersuche, ob der Grenzwert
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)[/mm]
> existiert und berechne ihn gegebenenfalls.
>
> Ich komme leider nicht auf den Grenzwert. Beschränkt ist
> die Folge auf jeden Fall, da wir die Abschätzung
> [mm]\sqrt[n]{n} \leq 1+\frac{2}{\sqrt{n}}[/mm]
> hatten und damit ist
> dann
> [mm]0\leq\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)\leq 2.[/mm]
> Allerdings schaffe ich
> es nicht Monotonie o.ä. nachzuweisen und haben auch keinen
> Grenzwert. (Der aber vermutlich 0 sein müsste.)
>
> Besten Dank für Hinweise!
Hallo!
Sowohl für [mm] {n\to+\infty} [/mm] als auch für [mm] {n\to-\infty} [/mm] existiert der Limes.
[mm]\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0[/mm]
[mm]\lim_{n\to-\infty}\sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 24.07.2016 | | Autor: | phifre |
Die Wurzel aus negativen Zahlen ist ja erstmal garnicht definiert. Ist für die Aufgabe aber ja auch garnicht relevant.
Wie kommt man auf
[mm] $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1)=0$$
[/mm]
?
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Hallo,
Du kannst einige Tricks anwenden, um den Term zu vereinfachen. Ich würde ausmultiplizieren und die n-te Wurzel als Hochzahl 1/n schreiben. Das vereinfacht den Term, löst aber das Hauptproblem noch nicht. HauptFrage ist ja, was die n-te Wurzel aus n im Unendlichen macht. Ich habe die Lösung hier gefunden:
http://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html#nWn
Für den Beweis verwenden sie die Logarithmusfunktion.
Viele Grüße, Erik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 24.07.2016 | | Autor: | phifre |
Wenn ich ausmultipliziere hab ich
[mm] $$\sqrt{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} [/mm] - [mm] \sqrt{n}$$
[/mm]
stehen.
Jetzt kann ich doch aber nicht erst nur [mm] $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}}=1$ [/mm] benutzen um das ganze dann in
[mm] $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} [/mm] - [mm] \sqrt{n} [/mm] = [mm] \sqrt{n}-\sqrt{n} [/mm] = 0 $$
umzuformen, oder? Die anderen Grenzwerte müssen doch gleichzeitig auch mit berücksichtigt werden.. Das ist ja gerade das Problem beim Ursprungsterm
[mm] $$\underbrace{\sqrt{n}}_{\to \infty}(\underbrace{\sqrt[n]{n}-1}_{\to 0})$$
[/mm]
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Man setzt
[mm]\varepsilon_n = \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt[n]{n} - 1 \right) \, , \ \ n \geq 1[/mm]
und formt um:
[mm]\sqrt[n]{n} = 1 + \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}}[/mm]
Für [mm]n \geq 3[/mm] folgt mit dem binomischen Lehrsatz:
[mm]n = \left( 1 + \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^n = 1 + \sqrt{n} \cdot \varepsilon_n + \frac{1}{2} (n-1) \cdot {\varepsilon_n}^2 + \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3 + \ldots \geq \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3[/mm]
Jetzt löse die Ungleichung [mm]\frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{\sqrt{n}} \cdot {\varepsilon_n}^3 \leq n[/mm] nach [mm]\varepsilon_n[/mm] auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 25.07.2016 | | Autor: | phifre |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Dank für die Antwort!
Es gilt doch aber
$$\left(1+\frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}}}\right)^n = 1+\sqrt{n}\varepsilon_n+\frac{1}{2}\sqrt{n}(n-1)\varepsilon_n^2+\frac{1}{6}\sqrt{n}(n-1)(n-2)\varepsilon_n^3+\ldots$$
oder hab ich mich vertan?
Damit lässt sich trotzdem Deine Umformung machen.
Liebe Grüße
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[mm]\left( \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^2 = \frac{{\varepsilon_n}^2}{n} \, , \ \ \left( \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{n}} \right)^3 = \frac{{\varepsilon_n}^3}{n \sqrt{n}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 25.07.2016 | | Autor: | phifre |
Stimmt! Hast recht.
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