Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
| Aufgabe | | [mm]\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] für [mm]a,b > 0 [/mm] |
huhu liebe community :)
hmmm .. nach längerem Knobeln hatte ich die faxen dicke und hab meinen guten Freund "maple" nach seiner Meinung gefragt.
Der meinte auch selbstbesusst, dass [mm]\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{a^n+b^n} = max\{a,b\}[/mm]
Jedoch der Lösungsweg .. entzieht sich mir jeder Vorstellungskraft
zu zeigen ist noch: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 19.02.2007 | | Autor: | DesterX |
Hi Jorgi!
Nehmen wir einfach mal an:
Sei OBdA a > b > 0, also mit anderen Worten: max{a,b}=a
Dann gilt doch:
[mm] \wurzel[n]{a^n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{a^n+a^n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a < [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] a
mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a=a [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2} [/mm] a = a
Wenn dir das Einschachtelungsprinzip was sagt, dann bist du jetzt fertig, oder? ;)
Viele Grüße,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
tja ... genial einfach, einfach genial :)
danke sehr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mo 19.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hoi zusammen,
> Nehmen wir einfach mal an:
> Sei OBdA a > b > 0, also mit anderen Worten: max{a,b}=a
man kann hier auch $a [mm] \ge [/mm] b$ annehmen. Dann gilt alles fast genauso:
> Dann gilt doch:
>
> [mm]\wurzel[n]{a^n}[/mm] < [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] <
> [mm]\wurzel[n]{a^n+a^n}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] a < [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] < [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] a
hier muessen dann [mm] $\le$ [/mm] anstatt $<$ hin. Der Rest geht dann genauso :)
LG Felix
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Hallo Jorgi!
Hier ein weiterer Lösungsvorschlag / -weg. Auch ich nehme o.B.d.A. an: $a \ [mm] \ge [/mm] \ b$ :
[mm] $\wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{a^n*\left(1+\bruch{b^n}{a^n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{a^n}*\wurzel[n]{1+\left(\bruch{b}{a}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] a*\wurzel[n]{1+\left(\bruch{b}{a}\right)^n} [/mm] \ = \ ...$
Und da $b \ [mm] \le [/mm] \ a$ [mm] $\gdw$ $\bruch{b}{a} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ , strebt der Wert unter der Wurzel gegen $1+0 \ = \ 1$ bzw. kann man den Wert unter der Wurzel auch mit [mm] $\le [/mm] \ 2$ abschätzen.
Gruß vom
Roadrunner
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